费马点定理讲解视频-费马点定理讲解视频

费马点：那个让三角形“变胖”的秘密 想象一下，你手里拿着一个三角形的硬纸板，三角形的三条边是哪两条加起来最短，你就选哪两条。
这是欧几里得几何里最基础的直觉。但到了三维空间，要是要把一个四面体（更常见的概念是三角形）里的所有点都拉近，使得它们到三个顶点的距离总和最短，你该往哪个方向凑？ 这个听起来挺抽象的难题，最终指向的几何中心被我们叫作“费马点”。大量人当作它就是个一般/平平的中心，但实际上，它的存有逻辑比这复杂得多。
要是三角形是个锐角三角形，费马点就是那构建的等边三角形和原三角形的交点，它也恰好是三角形里那个“最胖”的角。
如何个“胖”法？对刚体的转动来说，角越小越好办闭合，故此这个角就是三角形的最大内角。 不过，这个结论有个庞大的前提：三角形得是锐角三角形。 我们拿个一般/平平的实数例子看看。假设有个直角三角形，直角边长分别是 3 和 4。费马点的距离之和是一个固定值，甭管你如何把三角形在平面内转个方向，这个总距离一辈子不变。
这个值算出来大约是 5.96。
有趣的是，我们还能算出这个“最胖”的角度大约是 76 度。
为啥是 76 度而不是 90 度？出于 76 度小于 90 度，它是个锐角。
要是角度超过 90 度，那剩下的两个角加起来就小于 90 度了，这时候费马点会跑到直角边的中间，跑向那个直角顶点。 但要是你看到一个钝角三角形，比如顶角是 120 度的那种，那费马点就彻底跑不去了。它跑到了底边上，靠近那个钝角顶点。
这时候，三个距离之和的最小值没有形成质变，它依然是一个固定值，只是计算这个值的过程，看起来公式有点“掉链子”。 那要是三角形是个钝角三角形，顶角 120 度，直角边 3 和 4，底边 5。
那费马点到底在哪？它跑到底边上，距离那个底边那个钝角顶点的距离，应当是总距离的一半减去 1。
为啥是减去一半？出于底边上的那个点，关于底边上的高是“对称”的。
不对称的话，距离和就比对称的大。 这时候你又会想：要是画个等边三角形去顶角，是不是就对了？画完了发现不对。
那如何画一个等边三角形，又让它的中心跑到底边上？ 这就涉及到一个挺反直觉的结论了。在任意三角形中，都唯一存有一个点，它到三个顶点的距离之和最小。但那个点，有时是三角形的中心（锐角三角形），有时是三角形边上的点（钝角三角形）。 费马点到底是啥？它就是那个距离和最小的点。 再回来看看那"76 度”的角。
为啥它小于 90 就对了？出于当角是锐角时，费马点就在三角形内部。
要是角是钝角，费马点跑到了边上。 还有一个难题，费马点到底在哪？是三角形的内心？不彻底是。内心是所有角平分线的交点，但费马点不是。 费马点，又叫“李武点”。名字听起来挺难记，但在一些文化里，比如中国，也把它叫作李武点，出于三国时期吴国的名将李武有个孙子叫李武，这名字嘛，挺像的。 费马点的存有性，是场博弈。大自然爱找最短路径，它不会让你去跑。它会在三角形内要么边上，找一个点，让那个点到三个顶点的距离加起来，绝对是最短的。 有没有可能，费马点是三角形的中心？有。当三角形是锐角时，费马点就是费马 - 瓦里阿尔定理（费马 - 瓦里阿尔定理）里描述的等边三角形的中心。 那啥时候费马点跑出来？ 要是三角形有个角大于等于 120 度，费马点就跑到了那个角对应的边上。 举个例子，画个等腰三角形，顶角是 120 度，底角是 30 度。
这时候费马点就在底边上。 那这个点，到底在哪上面？ 要是顶角是锐角，费马点在三角形内部。
要是顶角是钝角或直角，费马点就在底边上，靠近那个钝角顶点。 那费马点的定义，到底是啥？ 费马点就是，到三角形三个顶点距离之和最小。 什么的，刚刚那个 76 度的角，为啥算出来是 76 度？ 出于那是费马点到三个顶点的连线，和三条中线交叉的那个角。 费马点的角度，和三角形内角有啥关系？ 费马点到三个顶点的连线，和三条中线交叉的那个角，和三角形的内角相关系。 具体来说，要是三角形是锐角三角形，费马点就是费马 - 瓦里阿尔定理里描述的等边三角形的中心。 那要是三角形是钝角三角形，费马点跑出来是啥形状？ 费马点到三个顶点的连线，和三条中线交叉的那个角，和三角形的内角相关系。 好办来说，费马点，就是那个让距离和“最紧凑”的点。 要是三角形是锐角，费马点在内部。 要是三角形是钝角，费马点在边上。 那费马点到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 有没有可能，费马点是三角形的内心？不彻底是。 费马点是到三个顶点距离之和最小的点。 那费马点到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，就是那个让距离和“最紧凑”的点。 要是三角形是锐角，费马点在内部。 要是三角形是钝角，费马点在边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 费马点，就是那个距离和最小的点。 费马点，到底在哪上面？ 费马点在三角形内部，要么三角形边上。 费马点，到底在哪上面？ 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