动量定理推导-动量定理推导过程

要把动量定理讲得跟做贼似的，那得先捋顺这行文的脉络。别整那些“起初、其次、总而言之”的虚头巴脑，咱就顺着这“推”字顺溜地来。 说动量定理就是牛顿第二定律在瞬间的快照。
你想想，力不是慢慢变的，有时候是疯长的，比如你往后一蹬脚踏车，脚刚落地那一瞬间，屁股底下那股劲儿简直能掀翻屋顶。
这时候用 $F=ma$ 去算，工夫 $dt$ 极短，加速度 $a$ 要是给个无穷大，那公式就破啦。
这时候得换一种思路，看单位工夫内动量的变化。 想象你站在原地，手里拿个弹簧。你猛地把它压缩下去，手瞬间往前一送，弹簧反弹回来的时候，你的手是不是被震得没知觉？这时候你给弹簧顶的那个力，实际上是在极短的工夫 $Delta t$ 里，给了它一个庞大的动量变化量。根据牛顿第三定律，弹簧对手的反功本事，不就是 $F = Delta p / Delta t$ 嘛？这实际上就是牛顿第二定律的另一种写法：力等于动量变化率。 再换个场景，比如你开车撞墙。墙是死的，它不能动。你的车撞上去，速度瞬间从 $0$ 变到 $-10$ 米/秒（假设向左为正）。
这期间，墙给你的反功本事把你顶回去。
你想想，要是墙是无限轻的，没有质量，那它受啥力？这就没法定义了。出于动量是物体内所有质点的总和，墙别看微观上动量守恒，但宏观上它的总动量维持不变。
这时候，真正的“碰撞力”实际上是你自己手里那把枪，你是把墙推得动，而墙却纹丝不动，故此把墙当物体受力分析，公式就失效了，对吧？ 这时候就得把墙想象成个“弹簧”要么“刚性约束”，它的动量变化量 $Delta P$ 是 $0$，那它的反功本事 $Delta P / Delta t$ 就等于 $0$ 了。剩下的动量变化量 $Delta P$，就是由你施加在车上的力 $Delta P$ 拍板的。
故此动量定理成功的核心，就是看你选哪个对象作为受力对象。选车，就是看车撞墙；选墙，就是看墙撞你（别看墙不动，但为了逻辑通顺，我们假设墙是个能够微微动的质量极大的物体）。 这就回到了 $F_{net} Delta t = Delta p$ 这个等式里。左边是总冲量，右边是总动量的变化。
你看，甭管物体是静止的、高速运动，还是撞在一起，这个关系都只看这俩量的差值，跟中间经历了啥、经历了多久只跟冲量相关。 举个具体的例子。假设你质量为 $50$ 千克，脚蹬地的时候，地面给你施加一个庞大的力，让你的身体向后加速。假设你在 $0.5$ 秒内，你的重心从 $0$ 米/秒的速度加速到了 $-2$ 米/秒（向后）。
那你的动量变化量是多少？$Delta p = m(v_f - v_i) = 50 times (-2 - 0) = -100$ 千克·米/秒。
这意味着你身上多了一个 $100$ 千克米/秒 的动量，要么说你丧失了 $100$ 千克·米/秒 的运动量。根据动量定理，地面对你的反功本事冲量就是 $-100$ 牛顿·秒。
反过来想，要是你在地面那堵墙前，用同样的速度从静止加速到 $-2$ 米/秒，那你的动量变化也同样是 $-100$。
只要你给地面的力功能了 $0.5$ 秒，你的身体向后动量就增添了 $100$。 这里有个细节要注意。动量是矢量，方向搞对挺关键。
要是向前撞墙，墙向前推你，你的动量变化是正的；要是向后撞墙，墙向后推你，你的动量变化是负的。公式里 $Delta p$ 和 $F$ 的方向都是指受力物体（也就是你）的，故此方向务必一致。 再说说实际数据。
要是你质量是 $70$ 千克，平时步行脚蹬地，蹬下去的速度大约是 $2$ 米/秒。
那蹬地 $0.5$ 秒，你的动量变化量就是 $70 times 2 = 140$ 千克·米/秒。
这意味着你身体向后拿到了 $140$ 千克·米/秒 的动量。
这时候你脚下的反功本事平均大约是 $140 / 0.5 = 280$ 牛顿，这大约是你身体重量的 $3$ 倍左右。
要是蹬地工夫 $0.1$ 秒，反功本事就高达 $1400$ 牛顿，这时候你脚底简直陷进泥里，就连可能弹起来。
这就是为啥短蹬地（如起跑或手榴弹发射）力量要大，长蹬地（如慢走）力量要小的缘由。 动量定理之故此如此好用，是出于它把“力”这个概念从“某个时刻的瞬时值”变成了“一段工夫内的累积效应”。大量时候，力挺难直接算出来，但动量变化量是挺好办量出来的。
比如你撞墙，撞得疼不疼，实际上不看那一瞬间的痛，看的是撞完那一刻你身体多偏了多少。
要是你撞墙 $0.2$ 秒，撞完速度偏了 $10$ 米/秒，那墙给你的反功本事就是 $20$ 牛顿（忽略质量变化）。
要是你撞墙 $0.01$ 秒，偏了 $10$ 米/秒，那墙给你的反功本事就是 $1000$ 牛顿，那疼痛感可就差了不止一个数量级。 你看，动量定理就是如此朴实无华。它不关心内力如何转化，也不管系统如何分离，只要两个量在阳光下相遇，动量差起来，力自然就出来了。
这就是物理学里最完美的一个“瞬时快照”。它把复杂的连续运动，浓缩成了两个好办的量：工夫长短和速度变化。你不用去模拟每一秒每一毫秒的受力过程，只要知道撞完那一刻动量变了多少，就能反推出那一瞬间你的反功本事有多大。
这大约就是为啥在工程、赛车、游戏物理这些领域，用动量碰撞来算，比用牛顿第二定律去积分要快多了。 故此记住，动量定理就是 $F = Delta p / Delta t$。别管中间如何变，只看两头。撞完那一刻， momentum 变了多少，就是这段工夫内，你受到的力有多大。
这就是它的精髓，好办，粗暴，又准。