拉格朗日中值定理习题-拉格朗日中值定理习题解

拉格朗日中值定理的现场实录 有个难题得先问清楚：函数连续性到底意味着啥？大量人会想到连续就是“没断点”，但数学上实际上更严谨一点，就是“没有跳跃”和“没有无穷跳”。
比如 $f(x)$ 在 $x=0$ 处，要是是 $lim_{xto 0}f(x)$ 存有且有限，那就算连续。
要是是跳跃的，要么趋向于无穷大，那就彻底扯淡了。
要是连个极限都不存有，那函数在那儿就是个“废人”，拉格朗日中值定理肯定用不了，出于它的前提就是“狗拿耗子多管闲事”。 扯完大道理，咱们直接上干货。假设你手里有一张函数 $f$ 和一点区间 $(a, b)$，想要证明定理：有两种贼明显的情况。
第一种是 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导，那定理直接成立。
第二种情况是 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，但在某点不可导，这时候你依然能找出一个点 $c in (a, b)$，让 $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$。
这个结论听起来挺了得，但实际上对初学者来说，难点在于如何把这两个看似矛盾的条件，在这个不连续的点上“缝合”起来。 为了理解这个缝合过程，咱们看个例子。刚刚那个 $f_2(x) = sqrt{|x|}$，在 $x=0$ 处导数根本不存有，是尖点。但别慌，拉格朗日中值定理是坚挺的，它不会出于你有一个尖点就拉倒。我们取 $a=-1$，$b=1$，那区间长度是 $2$。 目前在 $(a, b)$ 里找 $c$，让 $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ 成立。左边是 $sqrt{1} - sqrt{1} = 0$。右边呢？$f'(c)$ 在 $c neq 0$ 的地方实际上就是 $frac{1}{2sqrt{c}}$。
要是 $c$ 不等于 $0$，那 $frac{1}{2sqrt{c}}$ 是个非零常数，乘以 $(b - a) = 2$，结局肯定是正数要么负数，不可能等于 $0$。 这说明啥？说明在 $c neq 0$ 的那一片区间里，仿佛找不到点能知足方程。
难道定理要骗人？不会啊。
既然在 $c neq 0$ 找不到，那只能去 $c=0$ 这个点试试？不中，$f'(0)$ 根本不存有啊，没法代入计算导数值。 这时候就得换个思路了。
既然导数在 $0$ 点没意义，那我们就看看函数在 $0$ 点附近的变化率。当 $x$ 从负数变到 $0$ 时，函数值从 $-1$ 变到 $0$，变化率大约是 $+infty$；当 $x$ 从 $0$ 变到正数时，函数值从 $0$ 变到 $1$，变化率大约是 $-infty$。
这俩 $pm infty$ 加起来，正好能抵消掉中间某一段的有限变化。 具体来说，我们能够选 $c$ 在 $0$ 的左边一点点，比如 $c = -frac{1}{n}$，让 $f'(-frac{1}{n}) = -frac{1}{2sqrt{frac{1}{n}}} = -frac{sqrt{n}}{2}$。再选 $c'$ 在右边一点点，比如 $c' = frac{1}{n}$，让 $f'(c') = frac{sqrt{n}}{2}$。
要是我们把这两段结合起来，构造一个辅助函数 $F(t)$，定义在 $[-1, 1]$ 上，令 $F(t) = sqrt{|t|}$。 什么的，刚刚那个例子仿佛有点绕。咱们换个更直观的模型来演示。设 $f(x) = x^2 sin(1/x)$ 在 $x=0$ 处（去掉 $x=0$）。
这个函数在 $0$ 点连续，可是导数在 $0$ 点震荡发散，一直不等于 $0$。
那拉格朗日中值定理还能用吗？自然能。出于 $f$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 上可导（除了 $0$ 点）。 在 $(0, 1)$ 区间里找 $c$。左边 $f(1) - f(0) = 0 - 0 = 0$。右边 $f'(c)(1 - 0)$。出于 $f'(c) = f(0)/c = 0$，故此 $0 cdot 1 = 0$。等式成立。 要是你非要问，为啥前面那个 $sqrt{|x|}$ 的 $0$ 点导数不存有，$c$ 在 $0$ 点附近，能凑出 $0$ 的导数吗？这就用到了导数的“超局部”概念。在 $0$ 的极限因子 $frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 中，分母 $b-a$ 别看挺小，但分子 $f(b)-f(a)$ 还没到 $0$ 那么小。$sqrt{|x|}$ 在 $0$ 附近的斜率是无限大，但它在 $0$ 右侧取一点 $x$，函数值只增了一点点，而左侧取一点 $-x$，函数值也增了一点点，中间那个尖点别看陡峭，但它本身不贡献任何函数值的变化。
故此本质上，$0$ 点附近的变化率总和，正好在数学上被“抵消”了，使得整体平均变化率 $frac{0}{2} = 0$。
这就是定理的魔力，它不依赖某个点的导数存有，而是依赖区间内部“大”和“小”的变化率相互平衡。 再来讲个略微复杂点的。设 $f(x) = e^{-1/x}$ 当 $x > 0$，否则 $0$。
这个函数在 $x=0$ 处连续，但 $f'(0) = 0$。在区间 $(-1, 1)$ 上找 $c$，使得 $f(1) - f(-1) = f'(c)(1 - (-1))$。 左边 $f(1) - f(-1) = e^{-1} - 0 = e^{-1}$。右边 $f'(c)(2)$。
要是 $c > 0$， $f'(c) = e^{-1/c} cdot (1/c^2)$，这是个正数，乘以 $2$ 肯定是正数，等于 $e^{-1}$ 是可能的。
要是 $c < 0$， $f'(c) = 0$，乘积就是 $0$，不等于 $e^{-1}$。
故此只能取 $c > 0$。但这事儿仿佛有点不对劲，出于 $f'(0)=0$，而 $f'(c)$ 在 $c>0$ 时显然不恒等于 $0$。 这就引出了一个著名的反例：$g(x) = begin{cases} e^{-1/x} & x>0 \ 0 & x le 0 end{cases}$。验证 $g'(0) = 0$ 是对的：$lim_{xto 0^-} frac{0-0}{x-0} = 0$。但 $g'(x) = frac{e^{-1/x}}{x^2}$ 当 $x>0$。当 $x to 0^+$ 时，$e^{-1/x} to 0$ 的速度比 $1/x^2$ 慢，故此 $g'(x) to 0$。 什么的，我是不是搞错了？不，这里有个细节。当 $x to 0^+$ 时，$g'(x) = frac{e^{-1/x}}{x^2}$。令 $t = 1/x$，则 $x to 0^+$ 等价于 $t to infty$。$g'(x) = frac{e^{-t}}{1/t^2} = t^2 e^{-t}$。当 $t to infty$ 时，$t^2 e^{-t}$ 趋向于 $0$。
故此 $g'(x)$ 在 $0$ 处的极限确实是 $0$。
那拉格朗日中值定理还能干嘛？ 啊，明白了。拉格朗日中值定理的结论是存有 $c in (0, 1)$ 使得 $f(1) - f(0) = f'(c)(1 - 0)$。对于 $g(x)$，已知 $f(1)=e^{-1}$，$f(0)=0$。左边是 $e^{-1}$。右边是 $f'(c) cdot 1$。前面说了，要是取 $c>0$， $f'(c) > 0$ 且趋近于 $0$。
要是能找到 $c$ 使得 $f'(c) = e^{-1}$，那就完美了。 设 $h(c) = f'(c) - e^{-1} = frac{e^{-1/c}}{c^2} - e^{-1}$。当 $c to 0^+$ 时，$f'(c) to 0$，故此 $h(c) to -e^{-1}$，即 $h(c) < 0$。当 $c$ 变大时，$f'(c)$ 变大，最终会超过 $e^{-1}$。
故此必然存有一个 $c in (0, 1)$，让 $f'(c) = e^{-1}$，进而 $f(1) - f(0) = f'(c)(1 - 0)$ 成立。 别看 $f'(c)$ 这个值比 $f'(0) = 0$ 大大量，但它确实存有，并且能由拉格朗日中值定理“找”出来。
这正好说明白定理的普适性：它不要求你刻意去寻找那个神奇的 $c$，只要函数结构准，它就会乖乖地给出一个 $c$。
哪怕这个 $c$ 处的导数看起来跟函数在 $0$ 点的“突变”不忒一样，但在微积分的世界里，这些都是自然的。 最终再说说结论的深层含义。
这个定理实际上是微积分的基石之一，它跟牛顿第一定律挺像。物理学家常说“力是转变物体运动状态的缘由”。而在微积分里，拉格朗日中值定理说的是“要是函数连续可导，那么它的变化率处处存有，并且能够用某个点的导数来近似描述这个变化”。 这不只是是个计算工具，它揭示了函数的“内在节奏”。大局部时候，函数的变化是由某个局部点的斜率拍板的。就算函数在某点“卡住”了，要么在某点“尖刺”，只要整体趋势上线性光滑，那个“卡住”的点，最终总会被一个充足大的局部斜率“拉”出来，去承担整个区间的变化量。 这就是拉格朗日中值定理的精髓：它告诉我们要信任局部拍板整体。对于具体的函数，比如 $x^2 sin(1/x)$，在 $x to 0$ 时，$sin(1/x)$ 在 $[-1, 1]$ 之间跳动，它的变化率在 $-infty$ 到 $+infty$ 之间疯狂震荡。
这个震荡的振幅会随着 $x to 0$ 而无限放大。但拉格朗日中值定理告诉我们，别看局部形成了剧烈的震荡，但当我们看整个区间 $[a, b]$ 时，那个剧烈的震荡最终会被某个特定的 $c$ 点所“消化”掉，使得整体的平均变化率 $f'_{avg} = frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 恰好等于某个 $f'(c)$ 的值。 这就像扔石头入海，石头（函数值）从 $a$ 点扔到了 $b$ 点，整个海水的流动（函数值的变化）别看是瞬间爆发的，但总的水量（$f(b)-f(a)$）是确定的。拉格朗日中值定理就是那个预言家，它说：不管海面（局部导数）如何乱撞，总有两个浪头（$c$ 点）的拍岸声（导数值），加起来正好等于你扔出去的那两桶水（函数值的变化）。
这就是数学的优雅，简洁、强大，并且一辈子适用。