毕达哥拉斯勾股定理的证明-毕达哥拉斯勾股定理证明

柏拉图的弦切定理 在旧版教科书里，毕达哥拉斯定理一直以三个庞大的正方形围绕一个希腊字母启动：边长是 $a$ 的、边长是 $b$ 的、还有斜边 $c$ 的大正方形。
这个三角形被切割成四个直角三角形，对应边长分别是 $a, b, c$。
要是是正方形，自然就有 $a^2+b^2=c^2$。但这忒像代数题了，忒像小学奥数了，像是把逻辑当作了运算。 几何的真理本来不应当被公式框住。我们要看的是线性的关系，而不是面积的组合。 想象一下你站在一条直线上，手里拿着一把尺子，量去了一段长度，然后去另一段，看剩下的。
这种直觉在古希腊人眼里是最直接的。 记得有一个故事，叫格纳比德的故事。
这是一个关于弦切难题的故事，目前被改编成了证明定理的形式。格纳比德想要知道，当一条弦切角的时候，这个角的大小是多少度。他先画了一条直线 $AB$，然后在上面画了一条线段 $PQ$，使得 $PQ$ 平行于 $AB$。他选了一个点 $O$，让 $O$ 在 $AB$ 上。
然后他垂直于 $AB$ 画了一条线，拿到点 $R$。
接着他延长 $PQ$ 交直线 $AB$ 于 $S$。 格纳比德看到了一个角 $angle RQS$。他挺愣住了，他认定这是个直角，等于 90 度。他如何证明的？他绕着点 $Q$ 转了一圈，发现这个角和另一个角 $angle QSP$ 是对顶角，故此它们相等。他又看另一个角 $angle QSO$，发现它和 $angle QRS$ 是内错角，故此它们也相等。便他得出结论，$angle RQS$ 等于 $angle QSO$，也就是 90 度。 他说，只要知足这个条件，这个弦切角就是正 90 度。便他就问自己，这个角啥时候是 90 度呢？答案挺好办，当且仅当 $PQ$ 平行于 $AB$。 便格纳比德就拿到了一个结论：要是一个弦切角是 90 度，那么它所夹的弦平行于弦切线。
这是确实。 目前回到毕达哥拉斯的故事。他说，让我们把这个弦切难题变成几何证明。 我们画一个直角三角形 $ABC$，斜边是 $c$，直角边是 $a$ 和 $b$。我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，然后从 $D$ 做垂线到 $AB$，垂足是 $E$。连接 $BD$ 和 $AD$。 目前我们要证明的是：$a^2+b^2=c^2$。 这看起来不像啥定理，它只是说：在直角三角形里，斜边的平方等于两直角边的平方和。 这个结论忒好办了，要是不加证明，它会被认定是常识。但证明得多了，它就成了公理。公理就是公理，不需求证明。 要是这个结论是公理，那么我们就不用画任何图了。我们只需求拿一把尺子量一下。 假设你是画这个图的人。你拿一把尺子，量 $a$，然后平方，用 $a^2$。再量 $b$，平方，用 $b^2$。把这两个数加起来，等于 $c^2$。
这时候你会说：“这不可能！”你如何可能量出两个长度的平方等于第三个长度的平方？ 出于我们不知道 $a^2$ 和 $b^2$ 到底是多少。我们只知道 $a$ 和 $b$ 的长度。
故此我们务必通过逻辑来推导 $a^2$ 和 $b^2$ 的数值关系。 我们如何推导呢？ 起初，我们取一个单位长度的正方形，边长是 1。
这个正方形的面积是 1。 然后，我们取一个边长为 $a$ 的正方形，它的面积是 $a^2$。 再取一个边长为 $b$ 的正方形，它的面积是 $b^2$。 要是 $a^2+b^2=c^2$，那么这就意味着这三个正方形的面积加起来，等于边长为 $c$ 的大正方形的面积。 这个结论听起来挺合理，对吧？ 我们来看看格纳比德的弦切难题。他说，要是 $PQ$ 平行于 $AB$，那么 $angle RQS = 90$ 度。
这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $AB$ 时，$angle RQS$ 等于 $angle QSO$，也就是 90 度。 这个结论贼关键。它告诉我们，要是弦切角是 90 度，那么这个弦切线务必平行于切线。 反过来，要是弦切线平行于切线，那么弦切角一定是 90 度。 这个逻辑是闭环的。 目前，让我们把这个弦切难题套用到毕达哥拉斯的三角形里。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，我们构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 但毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 补充说明： 实际上，这个逻辑链条里有一个贼关键的点，即格纳比德的结论是毛病的。格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。但毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。
这两个命题是等价的，故此格纳比德的结论是对的，只是他没有充分说明“要是”这个条件的具体内容。 格纳比德说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
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故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^2 + YX^2 = XY^2$。 格纳比德说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么这个角 $angle XPQ$ 是 90 度。 为啥？出于要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RXP$（内错角），而 $angle RXP$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。
故此 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$。又出于 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此，只要 $PQ$ 平行于 $XY$，角 $angle XPQ$ 就是 90 度。 这个结论是假的！ 格纳比德犯了一个毛病。他说，要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 等于 $angle RYX$，也就是 90 度。 这个推导是对的。
要是 $PQ$ 平行于 $XY$，那么 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。而 $angle RYX$ 是直角，故此 $angle XPQ$ 是直角。 故此格纳比德证明白，要是弦切线平行于切线，那么弦切角是 90 度。 而毕达哥拉斯的定理说的是，要是弦切角是 90 度，那么弦切线务必平行于切线。 这两个命题是等价的。 故此，要是我们能证明格纳比德的那个结论，那么我们就证明白毕达哥拉斯的定理。 格纳比德的结论是：要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线。 这个结论是确实。 为啥？出于格纳比德证明白，当 $PQ$ 平行于 $XY$ 时，角 $angle XPQ$ 是 90 度。 而角 $angle XPQ$ 和角 $angle RYX$ 是内错角，故此它们相等。 出于角 $angle RYX$ 是 90 度，故此角 $angle XPQ$ 是 90 度。 故此，当弦切线平行于切线时，弦切角是 90 度。 反过来，要是弦切角是 90 度，那么 $angle XPQ$ 是 90 度。 出于 $angle XPQ$ 和 $angle RYX$ 是内错角，故此 $angle RYX$ 也是 90 度。 故此，当弦切角是 90 度时，弦切线平行于切线。 故此，这两个命题是等价的。 故此，要是格纳比德证明白“要是弦切角是 90 度，那么弦切线平行于切线”，那么毕达哥拉斯定理就被证明白。 目前，让我们回到毕达哥拉斯的弦切难题。 我们有一个直角三角形 $ABC$，直角边是 $a$，$b$，斜边是 $c$。 我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$。
然后做垂线 $DE$ 到 $AB$。 连接 $BD$ 和 $AD$。 目前，构造一个以 $a$ 为边长的正方形，记为 $S_a$。 以 $b$ 为边长的正方形，记为 $S_b$。 以 $c$ 为边长的正方形，记为 $S_c$。 要是我们能证明 $S_a + S_b = S_c$，那么我们就证明白 $a^2+b^2=c^2$。 这个证明的关键在于构造，在于如何把 $a^2$ 和 $b^2$ 拼凑成一个正方形。 格纳比德的弦切难题里，他构造了一个类似的三角形。 想象你有一个直角三角形 $XYZ$。$XY$ 是斜边，$XZ$ 和 $YX$ 是直角边。 我们在 $XY$ 上取一点 $P$。
然后做垂线 $PQ$ 到 $XZ$，垂足是 $R$。连接 $XP$ 和 $YP$。 目前，我们要证明的是：$XZ^