勾股定理的几何意义-勾股定理的几何意义

想象把一张正方形纸片切成四个直角三角形，拼在中间，把左下角和右上角的空白处也补上，突然就多出一个小白正方形了。
这小白正方形的边长就是直角三角形的直角边，而它的面积正好等于四个三角形的面积之和。当这四个三角形的斜边彻底重合在一起时，它们就组成了一个更大的正方形。
这时候，你会发现，大正方形的面积实际上就是四个小三角形加上中间那个小正方形拼起来的总面积。
这没错，但这看起来忒像公式推导了，对不对？ 实际上，古人早就看透了这一点。他们发现，只要把直角三角形的两条直角边分别看作直角，那么斜边就是直角，勾股定理就是勾股数。把直角三角形的直角边分别看作直角，斜边就是直角，这自然也是对的，但这样表述忒死板了。就像我们说“三角形的边长分别是 3、4、5"，彻底没难题。 咱们换个角度，把这就变成一种“拼图游戏”。想象你手里有一副火柴棒，要么是一堆积木块。
你想知道能不能拼成一个直角三角形。
比方说，你拿了一根 3 单位长度的木棍，又拿了一根 4 单位长度的木棍，最终拿了一根 5 单位长度的木棍。
这三根木棍能不能围成一个三角形？答案已经在书本里给出了，它们能够。
可是，你如何知道它们一定能围成直角三角形呢？你不能瞎猜。你得证明。 如何证明？最直接的办法，就是看这个三角形的面积是不是固定的。对于任何给定的三条长度，其围成的三角形面积是不变的。
这个面积如何算？那会儿是用“鞋带公式”，后来是用海伦公式。但今天咱们不用那些复杂的代数符号，咱们用最好办的几何语言。 假设你有一个直角三角形，它的两条直角边分别是 3 和 4。你把它画在纸上，你会发现，要是你把这两条边往外延长，用勾股定理算出来的斜边就是 5。
这时候，这个三角形的面积如何算？你能够用底乘高除以 2。底是 3，高是 4，面积就是 $3 times 4 div 2 = 6$。 目前，你拿着这根 5 的斜边，再看看这个 3 和 4 的直角边。
有没有啥关系？有！要是你把这三根同样的木棍按刚刚那样摆，你会发现，由这三根木棍围成的面积，居然也是 6。 这就怪了。同样的三条木棍，围成的面积居然是一样的。
这意味着啥？意味着甭管你如何摆，只要这三根木棍的长度不变，你围出来的三角形面积就一辈子等于 6。
那你如何知道它们一定能围成直角三角形呢？ 这就好比你在做数学题，题目只给了三条边的长度。你第一反应是去验证这三条边能不能构成三角形。你能做到吗？自然行，只要两边之和大于第三边就行，3+4 肯定大于 5，故此能构成三角形。你能算出它的面积吗？能，就是 6。但你还没题目问它是不是直角三角形，你凭啥断定它呢？ 这时候，勾股定理就像是一个超本事检查器。它告诉你：“嘿，既然你拿的是 3、4、5 这三个数字，那你甭管如何围，面积都是 6。并且，只要面积是 6，这三个长度一定对应一个直角三角形。”它把“面积”这个几何属性，和“直角”这个特殊角度联系了起来。 我们来看看具体的数据。当你把这三根木棍拼成一个三角形时，你会发现，要是这把木棍摆成了直角方向，你会发现它的面积是 6。
要是它摆成了斜着方向，你会发现面积还是 6。
这说明面积跟你如何摆没关系。
那你如何确定它一定是直角三角形？ 出于，勾股数本身就是一个秘密。你随意拿一组勾股数，比如 5、12、13。你把它摆成三角形，面积是 $5 times 12 div 2 = 30$。你把它摆成直角三角形，面积也是 30。
这固然没错，但忒抽象了。咱们还是回到最好办的例子。 拿 3、4、5 这一组数据。
要是你把三根木棍摆成一个直角三角形，你会发现，它的面积就是 6。
要是你把它摆成其他形状，面积还是 6。
这说明啥？说明这三个木棍围成的三角形面积确实是 6。而勾股定理告诉你，只要面积是 6，这三个长度一定对应一个直角三角形。 这就好比你在灶台间做菜。你有一盒豆子，你想知道这盒豆子能不能做出一碗豆子汤。你把豆子倒进锅里，加水煮，最终你尝了一口。你知道这盒豆子能不能做出一碗豆子汤吗？你知道食谱里加了多少水吗？你还知道这碗豆子汤里豆子占多大体积吗？要是你只知道豆子是“大量”要么“够吃”，你知道能不能做出一碗豆子汤吗？ 你能做出精确的食谱吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占的总体积是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分之多少吗？你能算出这锅豆子汤里豆子占总体积的百分之多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这锅里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗豆子汤里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能算出这碗里豆子占总体积的百分比是多少吗？你能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