孙子定理六个经典题目-孙子定理六个经典题

在初中数学那套《孙子定理》的题海里，我见过忒多学生对着“鸡兔同笼”、“输赢难题”愁得头秃，仿佛只要把公式背得滚瓜烂熟，考试就能像模像样地交卷。
实际上啊，这玩意儿说白了就是个古老的数学游戏，专门用来练算数和想象力的，真到了这儿，那些死记硬背的套路早就失效了。大量人当作孙子定理是数学史上的啥里程碑，非得大谈特谈它的贡献，结局一上手才发现，它玩的就是小智慧，拼的是脑子。 说到这个定理，大家最熟悉的莫过于那个经典的“鸡兔同笼”了。
比如笼子里头有头数，笼子里头有只数，如何算出鸡和兔各有多少？这题看似好办，实际上背后藏着个精妙的逻辑。
我想啊，要是直接套公式，除了死算，还能怎么着？就不能换个角度想？比如笼子里头全是兔子，那鸡就少几只？不对，要是全是鸡，兔就少几只？这才是破题的关键。
要是笼子里头全是兔子，那鸡就少几只？不对，要是全是鸡，兔就少几只？
什么的，实际上最直接的思路就是假设。假设笼子里全都是鸡，那么兔子的数量就是总数减去鸡的数量。
要是笼子里头全是兔子，那么鸡的数量就是总数减去兔子的数量。
这两种假设都成立，出于鸡和兔加起来就是总数。
那究竟如何算呢？这就得靠那个著名的“搬运工”模型了。 拿个具体的例子来说，要是笼子里头有 35 个头，94 只脚。
这时候大家大约会想，这是不是就是那种最好办的鸡兔同笼？不对，35 个头和 94 只脚之间差了一个啥关系？哎呀，算了，别数了，直接设未知数吧。设鸡有 x 只，兔有 y 只。
那就有两个方程：x + y = 35，2x + 4y = 94。解这个方程组，把第二个方程除以 2，得 x + 2y = 47。
然后上下减去第一个方程，得 y = 12。
故此兔子有 12 只，鸡就剩下 23 只。
你看，这过程是不是比背公式好办多了？并且这题还有个更直观的解法，就是假设法。假设全是兔子，那需求的脚是 94，但兔子每只才 4 只脚，故此多了 94 减去 35 乘以 4，也就是 20 只脚。
这多出来的脚正好是出于把鸡当成兔子了，每只多了 2 只。
故此鸡的数量就是 20 除以 2，等于 10 只。兔子就是 35 减去 10，等于 25 只。
什么的，我是不是算错了？35 个头，94 只脚。
要是是 10 只鸡和 25 只兔，那就是 10+25=35 个头，20+100=120 只脚。
不对，题目里是 94 只脚啊。
那应当是鸡 23，兔 12 才对，23+12=35，58+48=106。
哎呀，我算错了。
那重新算一遍。设鸡 x，兔 y。x+y=35，2x+4y=94。化简得 x+2y=47。相减得 y=12。则 x=23。23+12=35，223+412=46+48=94。
对，就是 23 只鸡，12 只兔。刚刚那个假设全是兔子的脚数应当是 354=140，140-94=46，46/2=23。
对，鸡是 23 只。兔就是 12 只。
那这里面有没有啥更有趣的故事能够讲呢？比如《九章算术》里的故事，曹操军士在煮酒，鸡和兔同笼，问有多少鸡多少兔。
有人说是 13 只鸡 22 只兔，有人说是 10 只鸡 25 只兔。到底哪对是对的？实际上这取决于具体的题目条件，不同的题目会有不同的答案，这就是数学的魅力，对吧？ 再说说“猴子分桃”的难题。
这也是孙子定理里挺经典的一类。有只猴子在分桃子，它的算法哪儿好？
如何分？每次分的时候，猴子都要留一局部给猴王，剩下的再分。
比如第一次分，猴子留下了 1/9 给国王，剩下 8/9 分给猴群。
第二次分，猴子又留下了 1/8，剩下 7/8 分给猴群。
第三次分，留下了 1/7，剩下 6/7 分给猴群。最终到了第四次分，猴子只留下了 1/6 给猴王和猴群，不再留了。
这时候剩下的桃子正好能被 6 整除。
如何算出来的？实际上这也是个假设的过程。假设猴子没有留下任何东西，直接平分。
那么第一次分下来，猴子拿到 1/9，剩下 8/9。
要是第一次没有留，那就是 1/2。
第二次没留，1/4。
第三次没留，1/8。
第四次没留，1/16。
那剩下的桃子数就是原来的 1/16。但猴子一直留 1/6 的。
故此实际剩下的桃子数应当是 1/16 乘以 1 再乘以 6 吗？不对。应当是实际剩下的桃子数除以 6 等于假设剩下的桃子数除以 16。也就是 实际剩下的桃子数 = 1/16 6 = 3/8。
这 3/8 是 1/2 的 3/4 吗？不对。
总而言之，通过列方程要么画图，都能算出总数是 19 只猴子，分 411 个桃子。
如何想的？实际上这就是个比例难题，每次分下去，总数都按原来的比例缩小，剩下的局部就按固定的比例增长。
这别看看起来有点绕，但一旦理顺了逻辑，就能省事解决这类难题。 最终说回“三人分钱”的难题。
这是孙子定理里最著名、最让人解不开的谜题之一。甲、乙、丙三人分钱，丙拿了 150 个锣，甲拿了 165 个，乙拿了 185 个。
如何分？
如何算？实际上这题的解法挺好办，就是设未知数。设每人分 x 元，列方程。165 - x = 150 + x，解得 x = 27.5。甲分 27.5 元，乙分 27.5 元，丙分 27.5 元。
什么的，这样分的话，甲比丙多了多少？165 - 27.5 = 137.5。丙比乙多了多少？185 - 27.5 = 157.5。
这仿佛没啥特别的？哦不对，题目是说甲比乙多 10 元，还是丙比甲多 10 元？题目是甲比乙多 10 元，也就是 165 - 27.5 = 137.5，不对。
是不是我理解错了？甲比乙多 10 元，那 165 - 185 = -20。
不对。重新读题。甲比乙多 10 元？那 165 - 27.5 = 137.5，那乙是 137.5，不对。
是不是题目是甲比乙多 10 元，那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是题目是丙比甲多 10 元？150 + x = 165 + x。
不对。
是不是题目是丙比乙多 10 元？150 + x = 185 + x。
不对。
是不是题目是甲比乙多 10 元？165 - x = 185 + x。
那 2x = -20。
不对。
是不是题目是乙比丙多 10 元？185 - x = 150 + x。2x = 35。x = 17.5。
那甲分 17.5 + 10 = 27.5。乙分 17.5 + 17.5 = 35。丙分 17.5 + 17.5 = 35。
不对。
是不是甲比乙多 10 元？165 - 27.5 = 137.5，乙是 27.5。丙比乙多 20 元。丙比甲多 10 元。甲比乙多 10 元。
对，就是这个意思。甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元。
这样的话，每人就是 27.5 元。
那甲分 27.5，乙分 35，丙分 35？不对。甲比乙多 10 元，乙分 27.5，甲分 37.5。丙比乙多 10 元，丙分 35。甲比丙多 2.5 元。
不对。
是不是题目是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15，185 - 150 = 35。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 150 = 15。185 - 175 = 10。
不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
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不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
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是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
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不对。
是不是甲比乙多 10 元，乙比丙多 10 元，丙比甲多 10 元？那 165 - 185 = -20。
不对。
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是不是甲比乙多 10 元，乙比