奈奎斯特取样定理-奈奎斯特取样定理

在讲奈奎斯特采样定理之前，先聊聊人为啥喜爱听不清楚一点的声音。想象一下你在灶台间切菜，切刀钝了点，菜块切得忽大忽小，你嘴里塞着半块土豆，听不真切。
这时候要是你突然凑近听，声音实际上原来挺清楚的，但听不清了。
那个瞬间，你突然意识到啥频率的“信息”丢失了。
这就是奈奎斯特采样定理的核心：你之故此认定不清楚，是出于你采集的样本频率不够高。采样率不够，信号在频域里就“打架”，重叠了，混了。
这就好比两个老师与此同时在讲同一门课，你听到的声音是嘈杂的，出于两派观点的碰撞忒激烈了。采样定理说白了，就是给信息设个“保真度”的底线。 别迷信滤波器的功能，管住理论里常听人说“低通滤波器能滤掉高频噪声”。
这话听着顺耳，但滤镜一辈子只能遮住光，遮不透暗。
要是源头发出的高频是有用的，你用它来滤波，那信号就坏了。奈奎斯特判据说的是，只要采样率够高，滤波器实际上是个可选项。
要是采样够密，频率高的成分早就被采出来，变成不同的频率分量，自然就不需求再依赖滤波器去“猜”那些频率了。滤波器救不了采样率不够的伤，这就像用口罩挡住眼，但要是你没戴眼镜，光透那会儿了，你看到的依然是半张脸，只是更脏一点，而不是全黑。
故此，采样率是地基，滤波器只是锦上添花，别指望滤镜能把地基修好。 历史上有位工程师，叫巴尼（Barnes），他在 1947 年搞实验时发现，要是采样点忒少，信号在时域上就“散架”了。他举了个例子：假设有个正弦波，频率是 100 Hz。
要是采样率是 50 Hz，每秒只采 50 个点。
那 100 Hz 的正弦波每 2 秒就要跳一次，正好卡在采样点上来回。结局，信号在时域上表现为一条直线，高频局部直接丢失了，频域上混叠成别的频率。
这时候你没法恢复原样，出于数据里根本存不住那个 100 Hz 的“身份”。巴尼后来证明，采样点要是均匀分布才有效，要是随机采的，采样率再高也无济于事。
这就像抓老鼠，你得在老鼠跑过你身边那一瞬间抓住它。
要是它跑得慢，你就能抓到；要是它跑得飞快，你越追它跑得越快，最终它溜走了，抓不到。采样率就是定义“老鼠跑得慢”的那个速度阈值。 大量人为了追求“更纯净”，会把采样率做得忒高。
比如 2 万赫兹的采样率。
听起来挺牛，仿佛能捕捉到细节。但难题在于，采样点如此多，信号在时域上就“碎”了。100 Hz 的信号，每 2 秒变一次，采样点之间就有 50 个点。
这 50 个点里，高频成分别看存有，但它们之间间隔忒近，在数值上简直重叠在一起了。
这就像用显微镜看 onion 切片，要是你切片忒薄，薄得像纸一样，你看不清纹理。采样率高了，时域上“碎”得越了得，频域上的混叠效应就越明显。
这时候你回放信号，出来的波形是颤动的，不再是平滑的正弦波。
故此，采样率不是越高越好，而是要找到那个“刚好够用”的平衡点。 再说说混叠，这玩意儿听着吓人，实际上是个物理概念。当采样频率低于信号最高频率的 2 倍时，高频信号会像波浪一样拉过来，覆盖到低频区域。你听声音时，会认定音调变低了。
比如 1500 Hz 的声音，采样率只有 1000 Hz，那它就被拉到了 250 Hz 的位置。你听到的声音就是两个信号混在一起：一个是 1500 Hz 的原音，一个是 250 Hz 的“假音”。
要是你采样率是 4000 Hz，就不会混叠了。
这时候再回放，你听到的就跟接收时一模一样，只是多了一个采样时刻。混叠的本质是，你的采样忒稀疏，害得高频信息“挤”到了低频段，你当作是低频，实际上是高频。
这就像是把大石头扔进池子里，要是池子忒小，石头下沉时可能会撞翻旁边的木桶。采样率就是池子的深度，深度不够，大石头（高频）就会被撞翻（混叠）。 最终聊聊实际工程里如何定采样率。你不能光盯着理论上的 2 倍。现实里，信号一辈子有噪声，并且我们采样的是离散的点，不是连续的波形。
故此，理论上算出的 2 倍采样率，往往要乘上一个大于 1 的系数，让余量给噪声留点地方，也让频域插值（Polyphase）的误差留点余地。
比如音频，人耳能听到的最高音只到 20 kHz，但为了抗混叠和插值误差，工程上一般采样到 48 kHz。
这 48 kHz 里，对应 20 kHz 的那局部，实际上占了挺大比例。剩下的 8 kHz 带宽，主要用来补采样插值时形成的误差，与此同时也用来容纳那些人耳听不见但影响音质的高频细节。采样率越高，这个“误差补”的带宽就越宽，理论上音质越好，但代价就是资源越贵。
故此，采样率不是无限拉得越久越好，而是要在“资源成本”和“理论保真度”之间找那个中庸之道。