相似三角形的性质定理-相似三角形性质定理

三角形是啥？就像一团揉皱的卫生纸，看起来乱七八糟，实际上只要把水挤干，里面的骨架就清楚了。相似三角形，就是这种“骨架”长得一样，只是大小不一样要么位置摆得不一样。
那会儿学的时候总认定那是死记硬背的公式，今天咱们不背公式，就拿着笔在纸上把那种“内在联系”摸一摸。 想象一下，你在地上放了两张扑克牌，一张 A，一张 10，中间隔着一堆废铁。别看数字不一样，但看那张 A 的背面，那个倒置的梅花和那张 10 的背面，那个 1 和那个 J 的朝向竟然分毫不差。
这就是相似。
要是把这个场景放大到建筑物上，比如咱们楼下面有一座高塔，楼旁边有一个小亭子。
要是从楼底往上数，塔高是 100 米，亭子高是 10 米；要是从地面看，塔宽是 50 米，亭子宽是 5 米。
这时候，要是有一局部没被遮住，它们的比例关系就能对上号。
这时候它们就是相似三角形。 这种关系最神奇的地方在于，别看它们大小不同，形状却一模一样，就像两个不同大小的玻璃杯，一大一小，但倒进去的可乐，味道厚度彻底一样。
要是两个三角形相似，那它们的角度肯定是一模一样的，就像双胞胎一样。并且对应边成比例，对应角相等。
这就好比你拿着一个放大镜照镜子，镜子里的影像和你手里的物体是一模一样的，只是距离远近不同。 说到数据，咱们得把那些冷冰冰的公式换掉，换成具体的数字来看。假设有一块大三角铁片，底边长 60 厘米，高 40 厘米。它的面积大约是 720 平方厘米。目前拿一个小三角片跟它比，要是小三角片的底边是 30 厘米（正好是原来的一半），高也是 20 厘米（正好是原来的一半）。
这时候，你会发现底边和高的比例是 60:40，小的是 30:20，这比例彻底一样。算面积的时候，大三角是六乘四等于二十四点。小三角是三乘二等于六。六除二十四，正好是四分之一。
也就是说，小的是大片的四分之一。
这个例子忒直白了，根本不需求啥复杂的推导过程。 再看看那个“一线三垂”的模型。想象一条直线穿过两块大三角板，中间夹着一个小的。
要是小三角的顶点在大三角的边上，那么这个小三角和其他几个小三角之间是如何比的呢？这就得看它们对应的高和底边。
比如大三角的高是 10，小三角的高是 2。
那它们就是相似的了。
这时候用相似三角形的面积比等于相似比的平方这个定理，就能够直接算出小面积是 2 平方，大面积是 10 平方。10 平方除以 2 平方，等于 5。
故此小三角的面积是大三角的五分之一。
这个例子特别直观，就是看那个“金字塔”叠在“大房子”上面的局部，比例直接就是平方数的关系。 实际上大量学生一看到“相似”，第一反应就是找角。对啊，角是相似的。
那剩下的边呢？对应边成比例。
这个实际上就是说，要是两个三角形相似，那它们三组对应边的比值都相等。就像你的身高和某个参照物（比如树高）的比值，还有那个参照物和你脚底到脚的比值，这三个数是一样大的。
不过这里有个坑，大量同学好办混淆“对应边”这个词，有时候会搞错哪条边对应哪条边。
比方说，要是三角形 ABC 相似于三角形 DEF，那 AB 对应 DE，BC 对应 EF，CA 对应 FD。
不能随意乱对应，错了话就全错了。 还有啊，有没有可能两个三角形看起来相似，实际上不是？自然有可能。
比如两个三角形，一个底边长 2，高 3；另一个底边长 4，高 6。它们看起来比例一样，但也可能只是长得一样大罢了，没有相似性。要确认相似，得先看好角度。
有时候两个三角形看起来角度差不多，但顶角顺序对不上，那就不是相似了。
比如一个大三角形，顶角在左上；一个小一点的，顶角在右下。
这时候别看边长成比例，但它们不相似，角度对应不上。
这就好比两个人长得像，但哪位是哪位的兄弟，关系不一定对。 实际上相似三角形在现实里到处都是。咱们看地图，一个城市的大约范围，和旁边乡镇的范围，有时候看起来比例差不多。
要么看电线杆，两个并排的，要是它们的高度比例和间距比例彻底吻合，那它们就是相似的。就连在咱们做手工的时候，比如折纸，要是折出一个等腰三角形，再折出一个等腰三角形，只要底角相等，它们就相似了。
这时候利用相似比，就能算出折痕的长度，要么算出折叠后露出的局部面积。 就连我们能够用它来玩点游戏。
比如你手里有两个一样的尺子，把尺子的一端对齐，另一尺子从角上启动折。
要是折痕和尺子底边的夹角，和另一个尺子和底边的夹角相等，那它们就相似了。
这时候就能够利用相似三角形求出未知的长度。
要么在建筑制图中，计算脚手架搭设的高度，往往也是基于相似原理。只不过咱们一般用好办的三角函数要么勾股定理，而不是死记相似比公式。 不过说确实，相似三角形的精髓不在那些复杂的定理名称里，而在它那种“类比”的思维上。就像你看到一只狮子和一只老虎，别看一个是非洲的，一个是亚洲的，但要是你只盯着它们的五官比例，你会发现狮子的鬃毛和老虎的鬃毛是类似的结构，只是长短粗细不同。
这就是相似。
这种思维方式，实际上对数学学习特别有帮助，不止三角形，赶明儿看几何图形，多找找有没有这种“比例不变”的线索，就能发现大量不一样的东西。 最终还得提一下，相似三角形有一个贼关键的推论，就是要是两个三角形相似，那么它们周长的比等于相似比。
比如大周长是 60，小周长是 30，周长比就是 2:1。
那它们的面积比就是 4:1。
这个结论有时候比直接算面积要快得多。
只要知道相似比是多少，直接平方就能拿到面积比，这在实际应用中特别牛。 总而言之，相似三角形就是把两个图形拉成一个模子，齐一转，就能严丝合缝地套上去。它们不关心绝对的大小，只关心形状是否雷同。
只要角度对了，边长成比例了，它们就是完美的相似体。希望这些例子能让你对相似三角形有个更鲜活、更接地气的理解，而不是只死记那些口诀。毕竟数学嘛，讲究的是如何看懂世界，而不是如何背规定。