角平分线定理推导-角平分线定理推导 (10 字)

想象一下，你手里拿着一把剪刀，想把一张画布从中间剪得严丝合缝。
这时候你眼盯着的是那条折痕——角平分线。它把那个弯弯的角给一分为二，两边一模一样。
那这个“分”的过程，实际上是有数学道理藏在里面的，它是两个“相等角，对边成比例”的宝藏。目前咱们就不背公式了，咱们直接去探探这个定理背后的日子。 咱们说三角形 ABC，角 A 是个钝角，切一刀 CG 把它平分了。
这时候你肯定认定，C 到 AB 边上的高（垂线）和 C 到 AC 边上的高，肯定长得不一样。出于角 C 比较大，对着它的那个角 A 就小，对着角 B 的角 B 也小。
那高呢？高就是垂直距离，越往里走，垂直距离越大。
故此从 A 点作的高肯定比从 B 点作的高要长。 再来一个直角三角形，角 B 是直角。
这时候你作两条高。
哦不对，咱们还是用角平分线吧。假设有个直角三角形，角 A 和角 B 都是锐角，角 C 是直角。角 A 的平分线和角 B 的平分线，把直角 C 分开了。
这时候你画两条高，分别垂直于两边的对边。你会发现，这两条高之故此不一样长，彻底是出于角 A 和角 B 的大小不一样。角 A 大，对应的那条高就长；角 B 小，对应的那条高就短。 这就好比你站在一条斜坡上，脚踩的地方拍板了你离地垂直距离。左边坡陡，右边坡缓，你站在斜坡上的不同位置，离地面的垂直高度自然就不一样。角平分线定理就是如此个道理。 咱们来推导一下具体的比例关系。假设三角形 ABC 中，角 C 的平分线交 AB 于点 D。我们要证明的是 AD 除以 DB 等于 AC 除以 BC。 起初，咱们在图形里画个十字准线，把角 C 的平分线 CF 画实线，把边 AB 画虚线。
这就好比给角 C 戴了个放大镜，让你看清两边。
既然 CF 是角平分线，那么角 ACF 就等于角 BCF。
这就像是说，左右两边的“坡度”是一样的。 咱們在 C 点引两条垂线。一条是边 AC 上的垂线，我们叫它 CE。另一条是边 BC 上的垂线，我们叫它 CD。
你看，CE 和 CD 都是垂直于各自对边的，那它们肯定互相平行。
这就仿佛两堵墙，一面贴着 AC，一面贴着 BC，中间隔得挺远。 出于 CE 平行于 CD，故此被角平分线 CF 所截，角 ECF 就等于角 DCF。
既然角 ACF 等于角 BCF，而角 ECF 又等于角 DCF，那么角 ECF 肯定也等于角 BCF。啥意思呢？就是你刚刚画的那两条高，实际上长度是一样的。咱们把这两条高都叫作 CF 吧，要么随意叫个名字，反正它们长度相等。 目前咱们有了两个关键的直角三角形。一个是顶角是 A 的三角形 ACD，另一个是顶角是 B 的三角形 BCF。在这里，CF 是它们的公共边。出于两个直角三角形的斜边 CF 相等，并且它们对应的那个角（角 A 和角 B）不相等，但另一个角（角 ACF 和角 BCF）是相等的。 这就好比你俩打猎，背着同一个大枪（斜边相等），你瞄准的角度不一样，但你射出的靶子距离（直角边）得是一样的。
为啥？出于角度不一样，射出去的轨迹长度务必互补。
既然角 A 比角 B 大，那你射出来的那段直角边（对应角 A 的那条高）肯定比对应角 B 的那条（对应角 B 的高）要长。 故此，在直角三角形 ACD 里，CD 是角 C 的平分线的一局部，它等于角 A 的高减去角 B 的高。在直角三角形 BCF 里，CF 是角 C 的平分线的一局部，它也等于角 A 的高减去角 B 的高。
这就像说，那个公共的“中间段”长度，甭管是从 A 侧看还是从 B 侧看，数值都是固定的。 既然两个直角三角形斜边相等（CF 相等），一条直角边也相等（CD 等于中间那一段高），那么剩下的那一段高自然也要相等。
这相当于说，不管哪边，最终剩下的那个“尾巴”长度都是对的。 这就把难题弄好办了。目前你手里拿着两段相等的线段 CD，它们分别落在两个相等的直角三角形里。根据勾股定理的推论，你只需求算出斜边 CF，然后减去公共的那段高，剩下的就是 CD 的长度了。
反正如何算都得一样多。 好了，目前咱们回到最初的角 A 和角 B。角 A 在三角形 ACD 里，角 B 在三角形 BCF 里。
既然 CD 和 CF 长度相等，意味着这两个直角三角形在角 C 的分线处是“对等”的。
那角 A 和角 B 的大小关系呢？角 A 大，角 B 小。 这就引出了结论：角 A 大，那它对的边（AB 的一局部 AD）就长；角 B 小，那它对的边（BC 的一局部 DB）就短。并且，在同一个三角形里，边长和角的大小成正比。 这就得出了定理：角平分线分线段成比例。AD 除以 DB 等于 AC 除以 BC。 咱们来做个具体的例子，把这个抽象的推导变成具体的数字。假设你在三角形 ABC 里量角 A 是 120 度，角 B 是 30 度。
那角平分线把角 C 分成了各 60 度。
这时候，对应边 AC 和 BC 都是 5 米。
那 AD 和 DB 呢？AD 要是 4 米，DB 就是 1 米，AD 除以 DB 等于 4，AC 除以 BC 也是 1 比 1。
这时候你会发现，等式不成立。
这说明啥？说明刚刚的假设有难题。 咱们换个数据。假设 AC 是 10 米，BC 是 5 米。
那 AC 除以 BC 就是 2。
要是角平分线分成的比例也是 2 比 1，那 AD 就是 4 米，DB 是 1 米。
这时候，AD 除以 DB 等于 4，AC 除以 BC 等于 2。4 不等于 2。
这说明刚刚那个例子还是不对。 让我重新理一下。咱们设角 A 为 30 度，角 B 为 60 度。
那角 A 的对边是 BC，角 B 的对边是 AC。
要是 BC 是 3 米，AC 是 6 米。
那 AC 除以 BC 就等于 2。目前我们需求找出 AD 和 DB 的比例。 设 AD 为 x，DB 为 y。角平分线定理告诉我们 x/y 应当等于 AC/BC，也就是 6/3 等于 2。
故此 x 应当是 2 个单位，y 是 1 个单位。 咱们代入数值验证。假设角 C 是 90 度，BC 在 x 轴上，AC 在 y 轴上。设 BC = 3，AC = 6。出于角 C 是角平分线平分，故此角 B 是 60 度。在直角三角形 ABC 里，角 B 是 60 度，角 A 是 30 度。
那么 AB 的长度是 3 / cos(60) = 6 米。 角平分线分得的线段 AD 是 2 米，DB 是 1 米。 AD / DB = 2 / 1 = 2。 AC / BC = 6 / 3 = 2。 2 等于 2，等式成立。 这就清楚了。你的推导里哪一步漏掉了？
是不是忘记说角的大小拍板了边长的大小？哦，我明白了。刚刚那个例子里，角 A 大，角 B 小，故此 AD 应当比 DB 长，而 AC 应当比 BC 长。在 30 度角和 60 度角的例子中，角 A 是 30 度，角 B 是 60 度。
什么的，角 A 的对边是 BC，角 B 的对边是 AC。
要是角 A 小，角 B 大，那 AC 应当比 BC 短。 咱们重新构造一个彻底符合 30 度 - 60 度 的例子。设角 C 是 90 度。角 A 是 30 度，角 B 是 60 度。
那么 AC 对着 30 度，BC 对着 60 度。
故此 AC < BC。设 BC = 3，那么 AC = 1（出于 1/3 = 30/90）。 角平分线把 AB 分成 AD 和 DB。根据定理，AD/DB = AC/BC = 1/3。 这意味着 AD 是 1 份，DB 是 3 份。总共 4 份。 AB 的总长度是 3（BC） / sin(30) = 6。分割后 AD = 2，DB = 4。 AD / DB = 2 / 4 = 0.5。 AC / BC = 1 / 3 ≈ 0.333。 这里还是不对。 啊，我犯了一个低级毛病。角 A 和角 B 的大小拍板了它们对的边。角 A 大，对边长；角 B 小，对边短。 在 30-60-90 三角形里，角 A=30，对边是 BC=3。角 B=60，对边是 AC=？3/cos(60) = 6。 故此 BC=3，AC=6。AC 比 BC 长。 那角 A 和角 B 的大小呢？30 度比 60 度小。 角 A 对小边，角 B 对大边。 角平分线定理说 AD/DB = AC/BC = 6/3 = 2。 故此 AD 是 2 份，DB 是 1 份。 AB 总长 = 3 / sin(30) = 6。 AD = 2，DB = 4。 AD/DB = 0.5。 还是不对。 好吧，咱们换最好办的例子。设三角形 ABC 中，角 A 和角 B 都是 45 度？不对，那角 C 就是 90 度。 设角 A = 60 度，角 B = 30 度，角 C = 90 度。 AC 对着 30 度，BC 对着 60 度。 设 BC = 1，AC = sqrt(3)。 AC / BC = sqrt(3)。 AD / DB = sqrt(3)。 AB = BC / sin(30) = 1 / 0.5 = 2。 AD = 2 / 3 AC = 2 sqrt(3) / 3。 DB = 2 / 3 BC = 2 / 3。 AD / DB = (2 sqrt(3) / 3) / (2 / 3) = sqrt(3)。 对了。目前终于对上了。 这就清楚了。角的大小拍板了边的长短，边的长短拍板了比例。角平分线别看把角分成了两半，但出于它把对应的边也按同样的比例分开了。
这就是为啥它要叫“角平分线定理”。它不只是是平分角，它平分边，并且分得比例的系数是一致的。 这就是角平分线定理的推导过程，不用那些花里胡哨的术语，就用最好办的长度关系就能说清楚。