静电场的高斯定理课件-静电场高斯定理课件

静电场的高斯定理：不听汇报，只看场源 在讲高斯定理之前，咱们得先搞清楚一张图到底管啥。
这张图就是那个“静电场线”——它画出来的样子，直接告诉咱们电荷在动啥。 画高斯图的时候，那个曲面得选得有讲究。
要是随意选个盒子，电荷可能漏在外面，算出来就是零，明明里面有正电荷，这如何行？故此，这个曲面务必是个等势面，并且要包裹住所有的电荷。
要是里面是真空，表面是等势面，那电荷密度就是零，磁场也是零，整个空间里电流也是零，这忒静态了，没意思。 那要是曲面穿过了真空区域呢？这时候电荷的密度就不一定是零了。侧面那个曲面，电荷套住了，电荷密度处处等于零，对吧？但中间有实体的区域呢？要是曲面把电荷包在里面，电荷密度肯定不为零。
只要电荷被彻底包含，要么全体被排除在曲面之外，电荷密度就是零。 那么，电荷密度和电场强度之间到底有啥关系呢？ 答案是：高斯定理把这两者联系起来了。 公式长得挺抽象，$ oint E cdot dA = frac{Q_{in}}{varepsilon_0} $。但讲这公式，咱们直接看事件，不看代数。 事件一：只有正电荷 想象一个空盒子，里面放一个点电荷 $+Q$，外面是真空。
1. 先算一下电通量 $Phi_E$。电通量是所有面上电场的通量累加起来。
2. 这个点电荷是正电荷，电场线从它发散出去。
3. 穿过盒子的电通量是多少？假设盒子是球形的，根据高斯定理，通过球面的总通量等于 $Q/varepsilon_0$。
这点没错。
4. 再看看高斯图。
这个点电荷正好在盒子中心。
5. 关键点来了：正电荷发出的电场线，是穿过了盒子的表面，还是穿过了盒子的内部？ 球面是等势面，电场线垂直于球面。 电场线从球面“穿”到球内部，再从内部“穿”到外部。 故此，盒子的内部和外部都有电场线穿过。
6. 这就解释了为啥 $ Phi_E neq 0 $ 了。出于电荷在盒子内部，电场线从内部射向外部，通量自然不为零。
7. 反过来想，要是把这些电场线画在盒子上，每一根都垂直于盒子表面。想象一下，这些线要是绕着盒子转一圈，它们形成的回路能不能闭合？ 弦长是 $d$，半径是 $R$。 弦切线长是 $sqrt{R^2 - d^2}$。 总弦长 $L = sqrt{R^2 - d^2}$。 总切线长 $T = 2pi R$。 $L approx T$。 这说明，只要盒子的面积充足大，这些电场线在表面上平均来看，是彻底闭合的。
8. 既然电场线在表面上是闭合的，那么穿过表面的净电通量就是零。
9. 结论：要是电荷在盒子外部，对盒子形成的净电通量为零。 事件二：只有负电荷 情况正好反之。负电荷吸引电场线。
1. 电场线汇聚到负电荷上。
2. 穿过盒子的电通量如何算？
3. 假设同样的盒子，同样的点电荷，只是目前是负的。
4. 电场线从外部汇聚到盒子上。
5. 想象这些线在表面上绕一圈。
6. 弦长 $L$ 和切线长 $T$ 的比例关系还是一样的，都是近似 1。
7. 这意味着，这些汇聚的电场线在表面上也是闭合的。
8. 既然闭合了，穿过表面的净电通量也是零。
9. 结论：要是电荷在盒子外部，对盒子形成的净电通量也为零。 事件三：电荷在盒子内部（关键！） 这时候情况变了。
1. 盒子内部有正电荷。
2. 电场线从正电荷出发，射向盒子表面，再从盒子表面射向外部。
3. 注意看：电场线只在盒子的内部穿过（从内到外），而在盒子的外部并没有穿过（出于外部没有线指向外，反而是线从外往里进）。
4. 故此，穿过盒子的净电通量 $Phi_E$ 不为零了。
5. 通量的大小等于 $Q_{in}/varepsilon_0$。 事件四：电荷在盒子外部（反面情况）
1. 盒子内部没有电荷。
2. 电场线从正电荷出发，射向盒子表面，再从盒子表面射向外部。
3. 注意看：电场线只在盒子的外部穿过（从内到外），而在盒子的内部并没有穿过（线是从外向内进）。
4. 故此，穿过盒子的净电通量 $Phi_E$ 不为零了。
5. 通量的大小依然等于 $Q_{in}/varepsilon_0$。 事件五：电荷在盒子内部，盒子也是等势面 这是最典型的教学场景。
1. 假设有一个均匀带电的球体，中间有个空腔。
2. 要是空腔里没放电荷，球体表面就是等势面。
3. 在这个球体表面，电场线垂直于球面，且越来越稀疏。
4. 根据高斯定理，穿过这个表面的电通量是 $Q/varepsilon_0$。
5. 既然通量是 $Q/varepsilon_0$，且电场线垂直于表面（这是等势面的性质），那电场强度 $E$ 就不能是常数了。
6. 要是 $E$ 是常数，比如 $E = text{const}$，那么 $oint E cdot dA$ 也就等于 $E times text{Area}$。
7. 但根据高斯定理，这个通量应当是 $Q/varepsilon_0$。
8. 这就变成了 $E times A = Q / varepsilon_0$。
9. 显然 $E$ 不可能是常数，务必随距离变化才能知足这个等式。
10.故此，等势面上的电场强度分布肯定不是均匀的。 总结 说了如此多，核心就两点：
1. 高斯定理只和小球相关，跟外面没球没关系。
2. 正负电荷通量是 $Q/varepsilon_0$，出于这代表电场线从球内向球外，要么从球外向球内穿过，净效果是个正数。
3. 要是电荷在球外，电场线从外向内穿过，净通量也是 $Q/varepsilon_0$。
4. 要是电荷在球内，电场线从球内穿过球外，净通量还是 $Q/varepsilon_0$。
5. 总而言之，只要电荷在球内，穿过球面的净电通量就是 $Q/varepsilon_0$。 这就把正电荷和负电荷搞混了？不，没混。 你看，正电荷发出线，负电荷吸入线。 从内部看，正电荷发出的线穿过表面，通量为正（$Q$）。 从内部看，负电荷吸入的线，穿过表面，通量也是正的（$Q$）。 故此，不管电荷是正还是负，只要它在球内，穿过表面的净通量就是 $|Q|/varepsilon_0$。 这就够了。讲到这里，咱们能够闭嘴了，这个定理就是靠这个“线穿过表面”的逻辑链推导出来的，不需求更深的数学去证明。