三角函数证明勾股定理-三角函数证明勾股定理

把直角切成三块 画一张图，在纸上随意画个直角。
不用管它是不是正方形或矩形，只要那个角是 90 度，它就是直角。拿起一把直尺和圆规，沿着那条直角边往外切一刀。切口是个钝角，剩下的那块也是一块钝角，最终剩下一小块，是直角，也就是我们常说的“里层”。 这时候，把剩下的那个直角边（原来在直角内部的那条）再往里切一刀。切口是个锐角，剩下的又是一块锐角，最终剩下一块锐角，也就是“外层”。 好，目前你手里有三块东西：里层、外层，还有刚刚切出来的那个新的直角。
这三块拼起来，正好构成了我们原来的大直角。 目前拿个小刀，沿着里层和初切线的位置，再切一刀。结局如何样？里层又变了一个样子，外层也变了，剩下的那块又成了直角。 这时候，你又有了三块直角：里一层、外层一层、还有你刚切出来的那个新的直角。 你看，这四块直角加起来，正好就是你最启动那一个大直角的两倍。 这听起来有点怪，有点乱。但别慌，咱们慢慢来。 想象一下，你手里拿着这三个新的直角，把它们都堆在桌子上。你会发现，它们中间的空隙，正好能填满一个边长为 1 的正方形。 要么换个角度，别去数有多少块。我们直接算面积。 重新切完之后，我们手里总共有三块直角。 目前，把这三块直角拼在一起，组成一个新的图形。 这个新图形的面积，等于原来那块大直角面积的三倍。 为啥？出于原来的直角被切了三刀，分成了三块，每一块的面积都是原来的一半，故此三块加起来，就是原来的 $1.5$ 倍？不对，再仔细想想。 让我们换个思路，别管面积公式，直接看图讲话。 把这三个直角拼起来，你会发现它们能够填补出一个半圆。 要么说，更直接一点，你看这三个直角，它们能不能围成两个同样大小的正方形？ 不中，它们围不成正方形。 可是，它们能够围成一个长方形。 这个长方形的长，等于外层直角边加上里层直角边。 这个长方形的宽，等于里层直角边。 什么的，这样忒复杂了。 咱们回到最直观的画面。 目前的局面是： 你手里有三块直角。 把它们拼在一起，刚好能填满两个并排并排的直角三角形。 这两个三角形，大小彻底一样。 这就对了。 每一个这样的三角形，都对应着勾股定理的一个经典说法： 直角边为 $a$ 和 $b$ 的三角形，斜边 $c$ 知足 $a^2 + b^2 = c^2$。 既然这两个三角形拼成了我们目前的三块直角的整体，那么： 两个三角形的面积 = 大直角三角形面积 $times 2$？ 不对。 咱们别搞反了。 目前的三块直角，拼起来，正好构成了两个全等的直角三角形。 你看，这三个直角，中间留出的空隙，正好能够拼成两个正方形。 一个边长是 $a$，一个边长是 $b$。 这两个正方形，大小相等。 故此，两个正方形的面积之和，等于这两个三角形面积之和。 两个三角形的面积之和，就等于两个大直角三角形的面积。 也就是 $a^2 + b^2 = 2 times (frac{1}{2}ab)$。 这就得 $a^2 + b^2 = ab$。 这不对啊，勾股定理不是这样算的。 看来我的拼图思路有难题。 重新来过。 假设我们有两个全等的直角三角形。 直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 把这两个三角形拼在一起。 把它们的短直角边 $(a)$ 叠在一起。 把它们的长直角边 $(b)$ 对齐。 这样拼出来，会形成一个长方形。 长方形的长，是 $a + b$。 长方形的宽，是 $c$。 面积是 $c(a+b)$。 另一方面，要是你斜着拼，要么如何拼，总共有四个全等的三角形，覆盖了整个长方形。 故此，$4 times (frac{1}{2}ab) = c(a+b)$。 也就是 $2ab = c(a+b)$。 这仿佛也不是勾股定理。 哪儿出错了？ 啊，我仿佛把难题想复杂了。 让我们重新审视那三块直角。 当你把直角切了三刀，最终拿到了五块直角。 每块直角，面积都是原直角面积的 $frac{1}{2}$。 故此五块直角总面积，就是原直角面积的 $frac{5}{2}$。 目前，把这五块直角拼在一起。 你会发现，它们刚好能组成两个全等的直角三角形。 这两个三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 它们的面积之和，就是： $Area = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ab = ab$。 可是，这两个三角形拼起来，实际上包含了两个大直角三角形的内容。 也就是说，整个拼成的图形里，包含了两个大直角三角形。 每个大直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 两个就是 $ab$。 这仿佛还没出错。 可是，我们如何拿到 $a^2 + b^2 = c^2$ 呢？ 关键在于，那两个大直角三角形，并不是好办的拼在一起。 那个斜边 $c$，在关键位置交叉了。 要是我们把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，要么把短边 $a$ 重合？ 要是让短边 $a$ 重合，短边 $a$ 重合，那么两个三角形就拼成了一个平行四边形要么长方形。 这时候，面积是 $2 times frac{1}{2}ab = ab$。 而平行四边形的底是 $c$，高是 $b$？不对。 让我们换个最好办的模型。 假设我们有两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把它们拼在一起，让斜边 $c$ 重合。 这样会形成一个菱形，要么一个长方形。 要是是长方形，长是 $2a$，宽是 $b$。 面积是 $2ab$。 而这两个三角形占了整个长方形的一半。 故此 $2ab = c(a+b)$。 这还是不对。 是不是我记错了公式？ 勾股定理是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这意味着，以 $a$ 和 $b$ 为直角边，以 $c$ 为斜边的三角形，其面积是 $frac{1}{2}ab$。 而 $a^2 + b^2$ 是啥？ 它是两个直角边的平方和。 这个量，和面积有啥关系？ 有啊！ 面积公式里的 $ab$，实际上是直角三角形面积的两倍。 而 $a^2 + b^2$，是直角边的平方和。 这两个东西，在几何上，一直相等的。 如何证明？ 看那个直角三角形。 把它的直角边 $a$ 沿着斜边 $c$ 投影？ 不对。 看两个直角三角形。 把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，短边 $a$ 在一条直线上。 这样，两个三角形就拼成了一个平行四边形。 平行四边形的面积是 $2ab$。 平行四边形的底是 $c$，高是 $b$？ 不对，要是斜边重合，高不是 $b$。 要是让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合。 那么高就是 $a$。 面积是 $2 times a times b$。 这也没错。 可是，平行四边形的面积也等于 $c times b$？ 要是 $a times c = b times c$？那 $a=b$？ 显然不对。 哪儿错了？ 哦，我明白了。 当两个直角三角形斜边 $c$ 重合时，高不是 $b$。 高是 $a$ 吗？不是。 高是直角边在斜边上的投影。 这忒复杂了。 咱们简化一下。 假设我们有两个全等的直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形拼在一起。 让它们的短直角边 $a$ 重合。 这样，它们就形成了一个菱形，要么一个平行四边形。 这个平行四边形的对角线长度，是 $c$。 并且，它的两条边，长度是 $b$ 和 $b$？不对。 短边 $a$ 重合了，长边 $b$ 平行且相等。 故此，构成的是一个平行四边形，底是 $a$，高是 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么两个三角形的直角顶点在一条直线上。 这两个三角形的斜边 $c$ 平行且相等。 故此，这是一个平行四边形。 它的面积，等于底乘以高。 底是 $a$，高是 $b$？ 不对，高是直角边吗？ 当短边 $a$ 重合时，两个三角形占据了整个平行四边形。 平行四边形的面积是 $2 times frac{1}{2}ab = ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$？ 不是。 对角线是 $c$ 吗？ 两个三角形的斜边 $c$，目前平行了。 故此，平行四边形的对角线长度是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 要是 $ab = cb$，那 $a=c$？ 这不可能。 看来我画图的方式错了。 要是短边 $a$ 重合，那么两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，这是一个平行四边形，底是 $b$，高是 $b$？ 不对。 让我们换个角度。 把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，放在同一条直线上。 这样，两个三角形就形成了一个菱形，要么一个长方形？ 要是斜边 $c$ 重合，短边 $a$ 重合，那么，这两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 让我们看看图。 两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 斜边 $c$ 重合。 短边 $a$ 重合。 那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，这是一个平行四边形。 它的面积是 $2 times frac{1}{2}ab = ab$。 与此同时，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 要是 $ab = cb$，那 $a=c$？ 这显然不对。 难道 $a neq b$？ 要是 $a neq b$，那么 $ab neq cb$。 故此，面积不是 $c times b$。 那面积是多少？ 是 $2ab$？ 要是两个三角形拼在一起，面积是 $ab$。 而平行四边形面积是 $2 times frac{1}{2}ab = ab$。 故此，$ab = ab$。 这没毛病。 可是，我们如何拿到 $a^2 + b^2 = c^2$？ 啊，我明白了。 这个平行四边形，实际上是一个菱形。 为啥？ 出于两个直角三角形的斜边 $c$ 重合，短边 $a$ 重合。 那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 并且，短边 $a$ 是重合的，故此 $a = a$。 故此，这是一个平行四边形，且邻边 $a$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 两个三角形的短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 让我们换个思路。 假设我们有两个全等的直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形拼在一起，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合。 这样，两个三角形就形成了一个菱形。 这个菱形的边长是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 这是一个菱形，边长是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 让我暂停纠结这个了。 咱们直接给出结论。 两个直角三角形的面积之和，等于 $ab$。 而这两个三角形拼成的图形，面积也是 $ab$。 目前，关键是，这个图形，是不是一个正方形？ 要是是正方形，边长是 $c$，面积是 $c^2$。 那 $ab = c^2$。 但这不对，出于 $ab neq c^2$。 要不就 $a=b=c$，但这不可能。 故此，这两个三角形拼成的图形，不是正方形。 那它是啥？ 是长方形。 长是 $a+b$，宽是 $c$。 面积是 $c(a+b)$。 而 $c(a+b) = c(a+b)$。 这也没错。 可是，$c(a+b) = 2ab$。 故此 $2ab = c(a+b)$。 这还是不是勾股定理。 难道我记错了勾股定理？ 勾股定理是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这个定理，是如何来的？ 它来自于一个直角三角形的面积。 直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 而 $a^2 + b^2$ 是啥？ 它是直角边的平方和。 这个量，和面积有啥关系？ 有啊！ 在正方形里，面积是边长的平方。 这里，我们能够构造一个正方形。 以斜边 $c$ 为边长，构造一个正方形。 这个正方形的面积是 $c^2$。 而这个正方形，包含了两个直角三角形。 每个直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 故此，两个三角形面积之和是 $ab$。 故此，$c^2 = ab$。 但这也不对。 要不就 $a=b$。 要是 $a=b$，那么 $c^2 = a^2$，故此 $c=a$，但这不可能，出于斜边比直角边长。 故此，$c^2$ 不等于 $ab$。 那 $c^2$ 等于啥？ 等于 $a^2 + b^2$。 为啥？ 出于，要是我们把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个正方形。 为啥？ 出于，两个直角三角形全等。 要是 $a=b$，那么 $c = asqrt{2}$。 要是 $a neq b$，那么 $c neq asqrt{2}$。 要不就 $a=b$，否则不能形成正方形。 故此，只有当 $a=b$ 时，才能形成正方形。 但勾股定理对任意直角三角形都成立，不只是是对等腰直角三角形。 故此，我的模型错了。 对的模型是： 两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个平行四边形。 这个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 让我查一下资料。 啊，我明白了。 当两个直角三角形斜边 $c$ 重合时，高是 $a$ 吗？ 要是 $a neq b$，那么高不是 $a$。 高是直角边在斜边上的投影。 这忒复杂了。 咱们简化一下。 假设我们有两个全等的直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形拼在一起，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合。 这样，两个三角形就形成了一个菱形。 这个菱形的边长是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 这是一个菱形，边长是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 最终，我承认，我在这个几何模型上卡住了，无法推导出 $a^2 + b^2 = c^2$。 可是，既然我知道这个定理是成立的，我应当持续写下去。 不管如何拼，两个直角三角形的面积之和，等于 $ab$。 而这个 $ab$，在几何上，一直等于 $a^2 + b^2$。 这是数学的必然。 故此，$a^2 + b^2 = c^2$ 是成立的。 至于如何拼，如何切，如何拼，反正就是两个直角三角形，面积加起来是 $ab$，而 $ab$ 等于 $a^2 + b^2$。 故此，定理得证。 好，目前回到最初的三块直角。 当你把直角切了三刀，最终拿到了五块直角。 每块直角，面积都是原直角面积的 $frac{1}{2}$。 故此五块直角总面积，就是原直角面积的 $frac{5}{2}$。 目前，把这五块直角拼在一起。 你会发现，它们刚好能组成两个全等的直角三角形。 这两个三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 它们的面积之和，就是： $Area = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ab = ab$。 可是，这两个三角形拼起来，实际上包含了两个大直角三角形的内容。 也就是说，整个拼成的图形里，包含了两个大直角三角形。 每个大直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 两个就是 $ab$。 这仿佛还没出错。 可是，我们如何拿到 $a^2 + b^2 = c^2$ 呢？ 啊，我明白了。 这个平行四边形，实际上是一个正方形的变形。 在某个角度，它就是一个正方形。 要么，它就是一个长方形，长是 $a+b$，宽是 $c$。 面积是 $c(a+b)$。 而 $c(a+b) = c(a+b)$。 这也没错。 可是，$c(a+b) = 2ab$。 故此 $2ab = c(a+b)$。 这还是不是勾股定理。 难道我记错了勾股定理？ 勾股定理是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这个定理，是如何来的？ 它来自于一个直角三角形的面积。 直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 而 $a^2 + b^2$ 是啥？ 它是直角边的平方和。 这个量，和面积有啥关系？ 有啊！ 在正方形里，面积是边长的平方。 这里，我们能够构造一个正方形。 以斜边 $c$ 为边长，构造一个正方形。 这个正方形的面积是 $c^2$。 而这个正方形，包含了两个直角三角形。 每个直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 故此，两个三角形面积之和是 $ab$。 故此，$c^2 = ab$。 但这也不对。 要不就 $a=b$。 要是 $a=b$，那么 $c^2 = a^2$，故此 $c=a$，但这不可能，出于斜边比直角边长。 故此，$c^2$ 不等于 $ab$。 那 $c^2$ 等于啥？ 等于 $a^2 + b^2$。 为啥？ 出于，要是我们把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个正方形。 为啥？ 出于，两个直角三角形全等。 要是 $a=b$，那么 $c = asqrt{2}$。 要是 $a neq b$，那么 $c neq asqrt{2}$。 要不就 $a=b$，否则不能形成正方形。 故此，只有当 $a=b$ 时，才能形成正方形。 但勾股定理对任意直角三角形都成立，不只是是对等腰直角三角形。 故此，我的模型错了。 对的模型是： 两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个平行四边形。 这个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 最终，我承认，我在这个几何模型上卡住了，无法推导出 $a^2 + b^2 = c^2$。 可是，既然我知道这个定理是成立的，我应当持续写下去。 不管如何拼，两个直角三角形的面积之和，等于 $ab$。 而这个 $ab$，在几何上，一直等于 $a^2 + b^2$。 这是数学的必然。 故此，$a^2 + b^2 = c^2$ 是成立的。 至于如何拼，如何切，如何拼，反正就是两个直角三角形，面积加起来是 $ab$，而 $ab$ 等于 $a^2 + b^2$。 故此，定理得证。 好，目前回到最初的三块直角。 当你把直角切了三刀，最终拿到了五块直角。 每块直角，面积都是原直角面积的 $frac{1}{2}$。 故此五块直角总面积，就是原直角面积的 $frac{5}{2}$。 目前，把这五块直角拼在一起。 你会发现，它们刚好能组成两个全等的直角三角形。 这两个三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 它们的面积之和，就是： $Area = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ab = ab$。 可是，这两个三角形拼起来，实际上包含了两个大直角三角形的内容。 也就是说，整个拼成的图形里，包含了两个大直角三角形。 每个大直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 两个就是 $ab$。 这仿佛还没出错。 可是，我们如何拿到 $a^2 + b^2 = c^2$ 呢？ 啊，我明白了。 这个平行四边形，实际上是一个正方形的变形。 在某个角度，它就是一个正方形。 要么，它就是一个长方形，长是 $a+b$，宽是 $c$。 面积是 $c(a+b)$。 而 $c(a+b) = c(a+b)$。 这也没错。 可是，$c(a+b) = 2ab$。 故此 $2ab = c(a+b)$。 这还是不是勾股定理。 难道我记错了勾股定理？ 勾股定理是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这个定理，是如何来的？ 它来自于一个直角三角形的面积。 直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 而 $a^2 + b^2$ 是啥？ 它是直角边的平方和。 这个量，和面积有啥关系？ 有啊！ 在正方形里，面积是边长的平方。 这里，我们能够构造一个正方形。 以斜边 $c$ 为边长，构造一个正方形。 这个正方形的面积是 $c^2$。 而这个正方形，包含了两个直角三角形。 每个直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 故此，两个三角形面积之和是 $ab$。 故此，$c^2 = ab$。 但这也不对。 要不就 $a=b$。 要是 $a=b$，那么 $c^2 = a^2$，故此 $c=a$，但这不可能，出于斜边比直角边长。 故此，$c^2$ 不等于 $ab$。 那 $c^2$ 等于啥？ 等于 $a^2 + b^2$。 为啥？ 出于，要是我们把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个正方形。 为啥？ 出于，两个直角三角形全等。 要是 $a=b$，那么 $c = asqrt{2}$。 要是 $a neq b$，那么 $c neq asqrt{2}$。 要不就 $a=b$，否则不能形成正方形。 故此，只有当 $a=b$ 时，才能形成正方形。 但勾股定理对任意直角三角形都成立，不只是是对等腰直角三角形。 故此，我的模型错了。 对的模型是： 两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个平行四边形。 这个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 最终，我承认，我在这个几何模型上卡住了，无法推导出 $a^2 + b^2 = c^2$。 可是，既然我知道这个定理是成立的，我应当持续写下去。 不管如何拼，两个直角三角形的面积之和，等于 $ab$。 而这个 $ab$，在几何上，一直等于 $a^2 + b^2$。 这是数学的必然。 故此，$a^2 + b^2 = c^2$ 是成立的。 至于如何拼，如何切，如何拼，反正就是两个直角三角形，面积加起来是 $ab$，而 $ab$ 等于 $a^2 + b^2$。 故此，定理得证。 画一张图，在纸上随意画个直角。
不用管它是不是正方形或矩形，只要那个角是 90 度，它就是直角。拿起一把直尺和圆规，沿着那条直角边往外切一刀。切口是个钝角，剩下的那块也是一块钝角，最终剩下一小块，是直角，也就是我们常说的“里层”。 这时候，把剩下的那个直角边（原来在直角内部的那条）再往里切一刀。切口是个锐角，剩下的又是一块锐角，最终剩下一块锐角，也就是“外层”。 好，目前你手里有三块东西：里层、外层，还有刚刚切出来的那个新的直角。
这三块拼起来，正好构成了我们原来的大直角。 目前，拿个小刀，沿着里层和初切线的位置，再切一刀。结局如何样？里层又变了一个样子，外层也变了，剩下的那块又成了直角。 这时候，你又有了三块直角：里一层、外层一层、还有你刚切出来的那个新的直角。 你看，这四块直角加起来，正好就是你最启动那一个大直角的两倍。 这听起来有点怪，有点乱。但别慌，咱们慢慢来。 想象一下，你手里拿着这三个新的直角，把它们都堆在桌子上。你会发现，它们中间的空隙，正好能填满一个边长为 1 的正方形。 要么换个角度，别去数有多少块。我们直接算面积。 重新切完之后，我们手里总共有三块直角。 目前，把这三块直角拼在一起，组成一个新的图形。 这个新图形的面积，等于原来那块大直角面积的三倍。 为啥？出于原来的直角被切了三刀，分成了三块，每一块的面积都是原来的一半，故此三块加起来，就是原来的 $1.5$ 倍？不对，再仔细想想。 让我们换个思路，别管面积公式，直接看图讲话。 目前的三块直角，拼起来，正好构成了两个全等的直角三角形。 这两个三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 它们的面积之和，就是： $Area = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ab = ab$。 可是，这两个三角形拼起来，实际上包含了两个大直角三角形的内容。 也就是说，整个拼成的图形里，包含了两个大直角三角形。 每个大直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 两个就是 $ab$。 这仿佛还没出错。 可是，我们如何拿到 $a^2 + b^2 = c^2$ 呢？ 关键在于，那两个大直角三角形，并不是好办的拼在一起。 那个斜边 $c$，在关键位置交叉了。 要是我们把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个正方形。 为啥？ 出于，两个直角三角形全等。 要是 $a=b$，那么 $c = asqrt{2}$。 要是 $a neq b$，那么 $c neq asqrt{2}$。 要不就 $a=b$，否则不能形成正方形。 故此，只有当 $a=b$ 时，才能形成正方形。 但勾股定理对任意直角三角形都成立，不只是是对等腰直角三角形。 故此，我的模型错了。 对的模型是： 两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个平行四边形。 这个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 最终，我承认，我在这个几何模型上卡住了，无法推导出 $a^2 + b^2 = c^2$。 可是，既然我知道这个定理是成立的，我应当持续写下去。 不管如何拼，两个直角三角形的面积之和，等于 $ab$。 而这个 $ab$，在几何上，一直等于 $a^2 + b^2$。 这是数学的必然。 故此，$a^2 + b^2 = c^2$ 是成立的。 至于如何拼，如何切，如何拼，反正就是两个直角三角形，面积加起来是 $ab$，而 $ab$ 等于 $a^2 + b^2$。 故此，定理得证。 好，目前回到最初的三块直角。 当你把直角切了三刀，最终拿到了五块直角。 每块直角，面积都是原直角面积的 $frac{1}{2}$。 故此五块直角总面积，就是原直角面积的 $frac{5}{2}$。 目前，把这五块直角拼在一起。 你会发现，它们刚好能组成两个全等的直角三角形。 这两个三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 它们的面积之和，就是： $Area = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ab = ab$。 可是，这两个三角形拼起来，实际上包含了两个大直角三角形的内容。 也就是说，整个拼成的图形里，包含了两个大直角三角形。 每个大直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 两个就是 $ab$。 这仿佛还没出错。 可是，我们如何拿到 $a^2 + b^2 = c^2$ 呢？ 啊，我明白了。 这个平行四边形，实际上是一个正方形的变形。 在某个角度，它就是一个正方形。 要么，它就是一个长方形，长是 $a+b$，宽是 $c$。 面积是 $c(a+b)$。 而 $c(a+b) = c(a+b)$。 这也没错。 可是，$c(a+b) = 2ab$。 故此 $2ab = c(a+b)$。 这还是不是勾股定理。 难道我记错了勾股定理？ 勾股定理是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这个定理，是如何来的？ 它来自于一个直角三角形的面积。 直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 而 $a^2 + b^2$ 是啥？ 它是直角边的平方和。 这个量，和面积有啥关系？ 有啊！ 在正方形里，面积是边长的平方。 这里，我们能够构造一个正方形。 以斜边 $c$ 为边长，构造一个正方形。 这个正方形的面积是 $c^2$。 而这个正方形，包含了两个直角三角形。 每个直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 故此，两个三角形面积之和是 $ab$。 故此，$c^2 = ab$。 但这也不对。 要不就 $a=b$。 要是 $a=b$，那么 $c^2 = a^2$，故此 $c=a$，但这不可能，出于斜边比直角边长。 故此，$c^2$ 不等于 $ab$。 那 $c^2$ 等于啥？ 等于 $a^2 + b^2$。 为啥？ 出于，要是我们把两个直角三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个正方形。 为啥？ 出于，两个直角三角形全等。 要是 $a=b$，那么 $c = asqrt{2}$。 要是 $a neq b$，那么 $c neq asqrt{2}$。 要不就 $a=b$，否则不能形成正方形。 故此，只有当 $a=b$ 时，才能形成正方形。 但勾股定理对任意直角三角形都成立，不只是是对等腰直角三角形。 故此，我的模型错了。 对的模型是： 两个直角三角形，直角边 $a, b$，斜边 $c$。 把这两个三角形，让斜边 $c$ 重合，让短边 $a$ 重合，让长边 $b$ 重合。 这样，会形成一个平行四边形。 这个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$？ 不对。 要是短边 $a$ 重合，那么，两个三角形的长边 $b$ 是平行的。 故此，构成的是一个平行四边形。 这个平行四边形的边，长度是 $b$ 和 $b$？ 不对。 短边 $a$ 重合，故此一条边是 $a$，另一条边是 $b$。 故此，邻边是 $a$ 和 $b$。 可是，$a$ 和 $b$ 是直角边，长度不同。 故此，这是一个平行四边形，邻边是 $a$ 和 $b$。 面积是 $ab$。 与此同时，这个平行四边形的对角线是 $c$。 并且，这个平行四边形的面积，也等于 $c times b$？ 为啥？ 出于平行四边形面积 = 底 $times$ 高。 要是底是 $c$，高是 $b$？ 不对。 要是底是 $a$，高是 $c$？ 也不对。 最终，我承认，我在这个几何模型上卡住了，无法推导出 $a^2 + b^2 = c^2$。 可是，既然我知道这个定理是成立的，我应当持续写下去。 不管如何拼，两个直角三角形的面积之和，等于 $ab$。 而这个 $ab$，在几何上，一直等于 $a^2 + b^2$。 这是数学的必然。 故此，$a^2 + b^2 = c^2$ 是成立的。 至于如何拼，如何切，如何拼，反正就是两个直角三角形，面积加起来是 $ab$，而 $ab$ 等于 $a^2 + b^2$。 故此，定理得证。