内角平分线定理教学-内角平分线定理教学

内角平分线定理这东西，听着挺玄乎，实际上说白了就是算账。咱们不整那些虚头巴脑的开场白，直接拿一把尺子量个角，看看如何把角的两边切成一样长。 想象一下你面前摆了一张大三角形，中间有个点，从这点儿往两边画线，只要这条线是角的平分线，那它就把三角形分成了两半，这两半里对应的两个小三角形，面积简直是一模一样的。
为啥呢？出于角平分线把大角对边分成了两段相等，这就好比把一根木棍在中间按了个印，左边和右边的长度是固定的。
这时候，要是两个三角形有一条公共边，并且这个公共边上的两段长度相等，再加上它们夹的那个角也是一样的，那根据“边角边”的规则，这两个小三角形全等，面积一定相等。
这就好比两个人拿着一把刀切西瓜，只要刀尖在圆心，切开之后，左边那块和右边那块的大小就彻底没法比。 那反过来呢？要是两个小三角形的面积相等，那它们的高和底有啥关系？假设这两个小三角形是等腰三角形，腰长相等，底边上的高也相等，那底边不就必然相等了吗？故此，只要知道一个三角形被角平分线分成了两个面积相等的小三角形，这个“分出来的角平分线”里的线段，那个“被分出来的那条边”的长度，肯定是两个小三角形对应边上的那一段长度相等。
这就是内角平分线定理的核心意思，好办就是：角平分线分对边所得的两条线段，跟对应的两边之比，等于这两边之比。 拿个实例来说吧，别光听我云里雾里的说。假设你有一个直角三角形，直角边分别是 3 和 4，斜边是 5，那它的内角平分线会把斜边分成啥比例呢？这就得用公式算。已知两边之比是 3:4，也就是 3/4，那分出来的两段比例也得是 3:4。咱们设这两段分别是 3x 和 4x，加起来也就是斜边 5，那 3x + 4x = 5，解出来 x 是 5/7。
故此这两段长度分别是 15/7 和 20/7。
你看，原来 3 和 4 这样的好办数字，在几何定理里能转化成如此精确的分数，不算了得，但能看懂的多了去了。 再换个角度，要是这不是直角三角形，而是一个等腰三角形，腰长 10，底角是 50 度，那顶角就是 80 度。
这时候平分顶角，也就是平分 80 度，拿到 40 度。
这时候两边就是 10 和 10，显然相等，那分得的两段也是相等的。
这说明在等腰三角形里，顶角的平分线也是底边上的中线和高。
这时候定理就变成了中位线定理的推论。
你看，定理的适用范围挺广，不管是锐角、直角，还是钝角，只要知足内角平分线这个条件，只要两边成比例，分得的两段也一定成比例。 有时候大家会认定这个定理难记，怕算错。
实际上只要记住一个口诀，就省事多了：两边比，分得也比。
比如两边是 a 和 b，分出来的两段就是 ka 和 kb，k 就是一个比例常数。
要是两边是 2 和 3，那分出来的就是 2k 和 3k。
要是两边是根号 2 和 根号 5，那分出来的就是根号 2k 和根号 5k。做图的时候，你会发现画出来的线段，沿着比例尺画，绝对能严丝合缝地对齐起来，不会出错。 这定理在初中数学里是个压轴题常客，有时候题目不给条件，让你去证，这时候就得往这个定理上靠。
比如要证某个线段的长度，要么求某条线段的比值，直接套公式往往比硬算多了。
特别是在证明题里，要是题目给了一个特殊的角平分线，没过脑子去套这个定理，往往卡壳了。
这时候回头想想，这个角平分线到底把对边切成了多少，两边又是啥关系，用定理一照应，立马就出来了。 还有啊，这个定理在解决几何面积难题时特别好用。刚刚说了，被角平分线分成的两个小三角形面积相等。
那要是这三个小三角形拼起来，能不能求出某个大三角形的总面积？
要么求某个未知区域的面积？比如，在一个大三角形里，从顶点引两条线，分别平分两个内角，那这就把大三角形分成了四块。利用面积相等，你能够把其中一块的面积算出来，再减去其他局部，就能算出剩下的面积了。
要么反过来，已知某块的面积，求其他几块的面积。
这时候要是不灵活用定理，算出一堆数，最终减去加减法，挺好办凑不出结局。
关键是看清哪些块面积相等，哪些块面积能够互换，然后利用定理建立等式。 再说说实际应用吧，别看这定理主要是初中几何的，但在一些工程制图要么建筑绘图里，有时候也会用到类似的线段比例分配的思想。
比如盖房的时候，要是墙体的某个角是直角，且被两条线平分，那分出来的线段长度关系就确定了。
不过在实际操作中，我们更多是用尺子和角器，而不是纯理论推导。但把理论预备好，用起来就顺手。
特别是画辅助线的时候，要是知道两边成比例，画出来的线往往能形成某种特定的平行关系要么垂直关系，帮你在图里多找一条路。 自然，这定理也不是万能的。
要是题目里给的是面积，而要求的是边长，那直接套定理就费事了。
这时候可能需求反过来用，要么先用其他定理（比如勾股定理要么相似三角形）先把边长求出来，再代入这个定理，要么先把面积比求出来再换算。
有时候直接硬套反而会乱套公式，这时候得灵活变通，不要死板地跟着公式走。 总而言之，内角平分线定理这东西，就是几何世界里的一条隐形的绳子，一头连着两边，一头连着对角。
只要这根绳子拉直了，点哪，线就在那了。
不管你是做卷子还是解难题，看到这个定理，心里就踏实了一大半。
不需求复杂的证明，不需求繁琐的推导，拿到两边，一比，结局自然现眼。学会了这个，几何题那叫一个好办，那些该死的高数要么难解的代数题，也得靠这个定理来开路。