勾股定理例题简单-勾股定理简单例题

勾股定理：没如此死板的数学题
一、算一算，别急着背公式 说到勾股定理，脑子里第一个蹦出来的词肯定是“$a^2+b^2=c^2$"。
听起来挺光鲜，实际上挺折磨人的。大量人一看到勾股定理，就认定自己得先学个乘法口诀，再学几个平方公式，最终再背这个万能公式。结局呢？考试一上来就卡壳，问心都发慌。 实际上啊，这个公式不是啥高深莫测的绝世秘籍，它就是个挺好办的计数游戏。哪位数过古人每天吃的饺子数量？哪位数过人类眨眼多少次？哪位数过鸡在跑道上绕了几圈？没人能，但古人自己不会数，他们就只是如此算出来的。 想象一下，给你一列人，每人的身上都扣了个盘子，盘子上写着"1"，下面写着"2"，再下面写着"3"。你按照顺序把盘子扣上，最终那一排人的总盘子数是啥？肯定是一个挺大的数。
要是让你猜这个数大约是多少，那答案就在 1000 左右。
为啥？出于这一列人，每个盘子都代表一个数，而这一列人的总数，就是这三个数的总和。
这就好比给你一个长方形，长是 3，宽是 4，你要算它的面积，那就挺好办：$3 times 4 = 12$。 再换个角度说，数学里的“积”，实际上就是大家公认的“和”。长方形面积是长乘以宽，那这就是两个数的“积”；勾股定理右边那个 $c^2$，就是两个平方数加起来，这就是两个数的“和”。
这就好比你数 1 到 99 之间所有的整数，把这些正整数加起来，结局肯定是个挺大的数。 故此，勾股定理的本质，就是给三个数讲故事，然后告诉你故事里的总和具体是多少。
二、三个数，只有一种解法 既然算起来如此好办，那为啥大局部人都认定挺难呢？出于要是你手头有三个数，比如 3、4、5，那答案是多少？是 3 加上 4 再加上 5 吗？那答案是 12，但对答案是 7 啊。
为啥？ 出于勾股定理有个秘密，那就是“直角”。
只有当这三个数里，有一个数是最小的，其余两个是正数，且它们相加的结局，正好等于那个最大的数时，这个关系才成立。 举个例子，给你 3、4、5 这三个数。3 最小，4 和 5 是正数。$3 + 4 = 7$，而 7 不等于 5。
故此这个组合不成立。 再看一组数，2、3、4。2 最小，3 和 4 是正数。$2 + 3 = 5$，结局是 5，等于 4 吗？不是。
那就不中。 再试一个，3、4、5。3 最小，4 和 5 是正数。$3 + 4 = 7$，等于 5 吗？不中。 那啥时候才算对呢？比如 3、4、5 这组，3 最小，4 和 5 相加等于 9，不等于 5。
什么的，我是不是搞反了？哦，$3^2 + 4^2 = 5^2$，也就是 $9 + 16 = 25$。
对，就是这样。 实际上啊，这组数不管是 3、4、5，还是 4、3、5，还是 3、5、4，还是 5、3、4，都是对的。出于加减法，乘法就像加法一样，顺序不转变结局。
故此，只要有一组数知足 $a^2 + b^2 = c^2$，那它们就是勾股数。
三、瞎编几个数，看看能不能凑出来 既然数量级在 1000 左右，那你能不能从 1 到 1000 里，随意找两个数，试着凑出一个组合，看看能不能行？ 假设你随意拿两个数，比如 1 和 20。$1^2 + 20^2 = 1 + 400 = 401$。
这个结局是不是个平方数？显然不是。
那试试 2 和 10？$2^2 + 10^2 = 4 + 100 = 104$。也不是。 再试试 5 和 12。$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$。
哎哟，这个有意思！169 是个平方数，出于 $13^2 = 169$。
故此，5、12、13 就是一组勾股数。 这组数又怎么着？换顺序试试？13、5、12。$13^2 + 5^2 = 169 + 25 = 194 neq 12^2$。
不对。
那 12、5、13 呢？$12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$。
哦，对了！
看来顺序确实不关键，只要看哪两个数相加等于第三个数的平方。 再找一个，比如 8 和 15？$64 + 225 = 289$。289 是平方数吗？$17^2 = 289$。对！故此 8、15、17 也是一组勾股数。 这里有个小细节，8 和 15 都是偶数，17 是奇数。而 5、12、13 里，5 和 12 是奇偶不同，13 是奇数。
看来勾股数的奇偶性是有讲究的。
不过，只要你能找到这样的一组数，那这个定理就在你面前了。
四、现实中的勾股定理 数学讲完了，那它到底有啥用呢？实际上它就在你身边的每一处，只是你没发现罢了。
要是你站在两条大道之间，一条长 300 米，一条长 400 米，且它们成直角交叉，那从交叉点走到其中一端的路长是多少？ 这就变成了 300、400 和某个未知数 $x$。根据勾股定理，$300^2 + 400^2 = x^2$。计算一下：$90000 + 160000 = 250000$。开根号，$x = 500$。
故此，走另一条路更近，近 100 米。 这就是勾股定理最朴实的用处：算距离。 再想想，你家的阳台上，挂了一个铃铛。你家离你家的老房子，水平距离是 5 米，垂直距离是 12 米。家里的人说，从阳台中心走到老房子门口，大约要走多远？ 这时候，5、12、13 这组数就派上用场了。出于 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$。
故此，这段距离就是 13 米。正好是个整数，省得大家绕路大喊“你那边走哪条路更近”。 自然，生活中还有大量几何题。
比方说，脚踏车轮胎的直径是 700 毫米，车把的半径是 350 毫米。你要算从车把轮子中心到车座中心，大致多远？ 这实际上是求直径、半径和直径的关系。车座中心到车把轮子的距离大约是半径 350 毫米，再到车座中心大约又是半径 350 毫米，总共就是直径 700 毫米。 要么，你想知道从车座中心到车把轮子中心的直线距离是多少？这就变成了求半径 $r$ 和直径 $D$ 的关系。$D = 2r$，故此 $r = D/2$。
那中心到中心的距离就是 $D = 2r$，也就是直径。 再比如，一个等腰直角三角形的斜边，你知道短直角边是 6 米，那斜边是多少？这彻底就是 $a^2 + a^2 = c^2$ 的应用。$6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$。$c^2 = 72$，故此 $c = sqrt{72} = 6sqrt{2}$。别看不是整数，但这就是勾股定理在起功能。 就连，你想知道从长方形的一角到对角线的长度。长方形长 8 米，宽 6 米。
那对角线的长度就是 $sqrt{8^2 + 6^2} = sqrt{64 + 36} = sqrt{100} = 10$ 米。
五、结论：别被公式吓退 最终总结一下，勾股定理实际上就是一个好办的加法游戏。你只需求找到两个数，让它们相加的结局，恰好等于第三个数的平方，那就算对了。 它不是啥高深莫测的几何定律，也不是啥复杂的数学模型。它就是个古老的、经过无数人验证过的，关于数字之间关系的好办逻辑。 那些认定难的，实际上是出于大家把“数”和“算”搞混了。你不需求背公式，不需求死记硬背。
只要你能在脑海里找到那一对“和”，你就能瞬间解开这道题。 故此，下次再看到勾股定理，别慌。把它当成一个数字配对游戏，只要 $a^2 + b^2 = c^2$ 成立，那答案就在你面前了。