勾股定理二-勾股定理二

老陈手里那把磨得锃亮的折扇，一摊开，里头画着两个并排的小正方形，连一条斜线把它们分成了四块，画得比他小时候看母亲鬓角时还清楚。他指尖轻轻划过那斜线，像给这段历史打了一层散药。 这可不是啥教科书里的开篇，哪有啥“起初、其次、最终”的排山倒海，也没必要用“总而言之”把话说死。咱们就按老陈当年的心情，说说那个故事。 那时候，人们还没学会像目前这样，先把干巴巴的公式写在黑板上，再拿一支粉笔在上面画个大大的箭头，一步步推导出那个神奇的结论。古时候，他们的眼是圆的，看向远方的时候，世界就是那样一圈圈印在册子里，没有废话，没有富余的修饰。 先说那个最经典的故事。古时候有个叫弦高的人，在晋国遇到了流亡的晋公子重耳。公子重耳被人追杀，躲进鹿台，粮食不够了，就饿得前胸贴后背。弦高心想，得帮一帮，但又怕被人当成骗子。便，他假装是粮仓的管理人员，偷偷把粮食运给公子重耳充饥。到了关键时刻，公子重耳在朝堂上问：“这里的粮食够不够吃？”弦高慌忙跪下说：“够了，充足大家吃饱肚子。” 结局，公子重耳触动得不得了，心想这人真神，竟然为了我这种路人不声不响地冒死回来。回去之后，他设宴款待弦高，还赏赐了他一头牛的皮。 这个故事讲完了，弦高得奖了，并且回去之后，晋侯连连称赞他是个贤臣。
那之后，弦高就到处宣扬这个故事，说当年他为了救国难，不惜跳进火坑，这就是“一诺千金”的道理。 可你猜如何着？这个传说流传得越来越广，越来越远。到最终，大家都忘了弦高本身是哪位，忘了他最初是为了哪位才这样做。便，人们就把重点放到了“一诺千金”这个概念上，却忘了那个核心故事本身。 这就好比目前我们在讲勾股定理。
那会儿的人们不习惯用算盘，也不习惯用计算器，他们更喜爱用脚底下的石子、用腰间的长绳来丈量长度。 最启动的勾股定理，是古人用脚测量的。站在河边，想要知道河宽多少，不用绳子直接量，也不用让人往水里扔石头数浪花的数量。他们把两棵树，一棵在河这边，一棵在河那边，站在岸边。 假设这两棵树的位置分别是点 A 和点 B，它们之间的直线距离实际上挺远的。
要是直接量，那得先把人赶到两棵树之间去，万一有人路过把两棵树给砍了，那数据就全乱了。 这时候，古人就想，能不能用脚丈量，要么用绳子拉一拉？ 他们先在岸边选了两棵树，一棵叫 C，一棵叫 D，让它们离最近的那棵树 $A$ 一样远，离最远的那棵树 $B$ 也一样远。
然后，从那棵中间的树 $C$ 一直量到树上 $D$，这段距离记作 $c$。 接着，他们在 $A$ 点立个标杆，叫 $a$，在 $B$ 点也立个标杆，叫 $b$。
这两个标杆，它们离 $A$ 和 $B$ 的直线距离，跟树 $C$ 和树 $D$ 离 $A$ 和 $B$ 的直线距离，都应当是一模一样的。 你想想，这就好比目前的两个人，站在一个地点，距离彼此 $a$ 米，又距离另一个地点 $b$ 米。目前，我们要知道的是，他们之间的直线距离 $c$ 是多少。 古人的方式挺好办，就是让这两组距离彻底一样，让待测的线段 $c$ 正好在 $a$ 和 $b$ 形成的直角夹角中间。
然后，用脚丈量，要么用皮尺拉一拉，把 $a$ 和 $b$ 的长度加起来，正好等于 $c$ 的长度。 要是 $a$ 加 $b$ 等于 $c$，说明这三点确实构成了一个直角三角形。 这时候，大家才恍然大悟。
原来，勾股定理不是在那本写着“$a^2 + b^2 = c^2$"的书里，而是在这脚量出来的数据里。 老陈把扇子合上，又展开，画的那两棵树，目前的名字是 $A$、$B$、$C$、$D$。他指着 $C$ 和 $D$ 说：“你看，我们让 $C$ 和 $D$ 离 $A$、$B$ 的直线距离，跟 $a$ 和 $b$ 的长度，彻底一样。
这一样一样，勾股定理就立住了。” 他看着那根一直延伸到 $D$ 的绳子，那是 $c$。他说：“从 $A$ 到 $C$ 是 $a$，从 $C$ 到 $D$ 也是 $c$，从 $D$ 到 $B$ 是 $b$。
要是我们让这三段绳子加起来，正好是 $a+b$，那这段绳子 $c$ 就得是 $a+b$。
这样，$a$ 加 $b$ 就等于 $c$。” 这听起来忒神奇了，是不是？反正古人就是如此干的。 不过，话说回来，这种脚量、绳量的方式，在后来有了更精密的仪器之后，就显得有点笨重了。
那时候，有了勾股定理，能够算出更复杂、更庞大的数据。
比方说，要在一片森林里种树，要算出每棵树之间的距离，要么要计算耕地面积。 那时候，人们就有人尝试用算盘。算盘珠子一颗一颗拨，算一算，再拨一拨，算出结局。
然后再拿个尺子，照着算出的结局，去调整那些离得有点远的树。 再后来，有了计算器，再后来，有了电脑，再后来，有了现代数学里的三角函数表。
那时候，勾股定理的形式变得更抽象了。
要是你去翻翻大学数学书，可能会看到那些复杂的公式，看到 $a^2 + b^2 = c^2$ 被写在了纸上，被印在了黑板上。 那时候，人们认定，能算出任何数值，结局都一样。
只要把数据填进去，公式跑出来，答案就能给你。 可老陈认定，味道不对。 目前的勾股定理，仿佛把那些脚量、绳量的记忆给磨丢了。它忒干巴巴，忒冷冰冰，没人知道它是从哪儿来的，也没人知道它是如何用脚、用绳子、用绳子、用脚量出来的。 它把那些原本鲜活的故事，把那些原本能感觉到的距离感，都给抽象掉了。目前的公式，更像是一个空洞的笼子，关着那些曾经鲜活的生命，却看不见它们里面住的是啥。 老陈合上扇子，看着窗外，认定心里有点不舒服。 他想起那个弦高，想起那个为了救人愿意跳进火坑的故事。他想起那些用脚丈量出的距离，想起那些用绳子量出来的数据。 那时候，人们才真正懂得勾股定理。它不只是是一个数学公式，它是一个关于信任的故事，关于一诺千金的故事。在那个时代，人们信任，只要言出必行，哪怕是用脚量出来的数据也能成真。 而目前，这个公式变得忒精密了，忒完美了，以至于人们忘记了它最初的样子。 我们往往只记得那个最终的结论，却忘了那个最初的起点。就像目前的数学题，只要把数字填进去，答案就对了，却忘了那个数字是如何来的，忘了那个数字代表的是啥。 或许，赶明儿的日子，还会有人重新发现这个故事的真相。
或许，还会有人愿意回到那个脚步丈量出来的时代，去看看那些真的勾股定理。 毕竟，有些东西，一旦抽象掉了，就再也找不回来了。就像那个被磨平的弦高，那个被简化了的传说，都随着那个时代的终结，慢慢消亡了。 老陈重新展开那把扇子，看着上面那两个并排的小正方形，心里默默念着，或许有一天，人们确实会记得，那个故事，那个脚量出来的距离，那个用绳子量出来的数据，才是真正归于勾股定理的。 只不过，这得等历史的车轮，再转回来，再转得慢一点，让人们愿意停下脚步，重新看一看那会儿。 愿这世上，一辈子有人愿意回到那个脚量、绳量的时代，去重新讲述那个关于一诺千金的故事。