有关三角形的定理-三角形相关定理

嘿，咱们别一上来就在那本本正经的数学书里找那些“定义”和“公理”。三角形这东西，别看是个好办的图形，但玩起来跟打麻将要么下棋似的，千变万化。 大家心里都清楚，三角形最立得住地的就是内角和等于一百八十度。但这玩意儿不是天书，硬塞进抽屉里就是。
你想想，你在地板上画一个三角形，把三个角塞进尺子去量。你会发现，不管你是画个正三角形，还是画个歪歪扭扭的钝角三角形，要么那个看起来像倒挂的锐角三角形，你用量角器一圈下来，总角数一辈子加起来是 180 度。
这个结论特别反直觉，出于人的直觉认定三角形应当能“转”动，仿佛它是个旋转体才对。但事实恰恰反之，它是一个刚性的结构，只要顶角不变，底边的长度固定，那个 180 度的角就是绝对锁死的。 大量人一听到“三角形”，脑子里蹦出来的可能是勾股定理。
这个定理是欧几里得在那儿硬啃出来的，后来被古希腊人写成严密的证明。欧几里得说：要是两边已知，第三边一定存有，并且比它短，比两边之和又短。
看起来好办，实际上门槛挺高。 要是让我拿几个三角形来讲话，我非得举个例子不可。你拿一张 A4 纸，折个三角形，对着光看，你就发现它的底边和两边的关系实际上是个直观估算难题。
比如你拿一把剪刀，剪个钝角三角形。假设底边是 10 厘米。
这时候你不能光凭感觉说第二边和第三边加起来等于 12。你得看着角度。
要是你把两个边拼起来，中间那个角是锐角，那它们加起来肯定大于底边；要是中间那个角是直角，那它们加起来等于底边；要是中间是钝角，那它们加起来就大于底边。
这个逻辑链条是层层递进的，不能跳跃。大量人一听到“两边之和大于第三边”，脑子就短路了，认定就是数字加减，彻底不懂其中那个“为啥”。 实际上定理的真意在于“效率”。在唐朝，那个算筹记数法里就有体现。算筹就是一个小方块，分横、斜、竖三种。算出三角形的三条边，横着算，斜着算，竖着算。最终把这三段加起来，是不是就得凑个整？要是是整，说明这三角形是个直角三角形。
要是凑不成整，说明它是锐角或钝角。
这看似是算术游戏，实际上是几何直觉的早期演练。它告诉我们，三角形的边长不是独立存有的，它们是相互制约的。 再说说垂线。
这是三角形里最“硬气”的局部。你拿根棍子当底边，接两根棍子当腰。
这时候，你往两边作垂线。你会发现，两条垂线中，肯定有一条垂足落在三角形内部，另一条垂足落在外部。并且，要是有两条垂线，那它们一定互相垂直。
这个结论别看听起来耳熟，但大量人一测出来就忘，认定忒玄乎。
实际上这就是投影的规律。三角形的一条边，实际上就是它的两条高围成的区域在底边上的“影子”要么“投影”。
这两条高就像光棍一样，垂直地立着。
要是两条高都指向三角形内部，那说明对应的角都是锐角；要是一个指向内部，一个指向外面，那对应的角一个是锐角一个是钝角；要是一个还没启动指，说明它所在的角是直角。 还有个事儿，叫“两直线判定三角形”。
这是最实用的。你手里有两个三角形，你想找个理由说它们全等。光说边边边是废话。你得说：“这两个三角形的三个角分别相等”。
为啥？出于三角形一旦三边确定了，三个角就锁定了。
这叫“三个角定三角形”。
反过来也一样，三个角确定了，三角形就定了。
这个推导过程简直像逻辑炸弹一样硬。 说到“勾股定理”，别急着下结论说它是毕达哥拉斯得出来的。
实际上早在希腊之前，中国的勾股定理就已经知道了一半。
那个叫“商高定理”的记载，说要是直角三角形的直角边是 3，另一直角边是 4，斜边就是 5。3 加 4 等于 7，不等于 5。
这听起来挺矛盾，但这就是勾股定理在问世界：要是我想让斜边是 5，直角边得变成多少？你得找到那个对应的 3-4-5 的勾股数组。
这个定理的应用范围忒广了，从勾股数表到建筑上的对角线计算，再到雷达波的计算，无处不在。 还有那个“三角形中位线定理”。
这是几何里的“黄金分割点”啊。中线把三角形分成了两个全等的小三角形。
那中位线呢？连接两边中点的线段。它的长度等于第三边的一半，并且平行于第三边。
这简直就是尺规作图的终极武器。
你想画个平行四边形？拿两个三角形拼拼，中位线就出来了。
你想造个屋顶？找中点连线，自然就水平了。 最终得提提那个“三角形三边关系”。
这实际上是所有几何难题的基石。任何三角形都知足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
这个不等号比等号更严谨。
比方说，你画个三角形，边长分别是 3、4、5。3+4=7，大于 5。3+5=8，大于 4。4+5=9，大于 3。彻底没难题。但要是你说边长是 1、1、3。1+1=2，小于 3。
这时候三角形根本画不出来。
这就是实数的根本性质。
这也解释了为啥我们说“两点之间线段最短”，出于三角形三边关系实际上就是两点之间线段长度的动态对比。 总而言之，三角形的世界不是死板的公式堆砌。内角和是它的骨架，垂线是它的脊梁，中线是它的血液。勾股定理是它的心脏，中位线是它的手指头，三边关系是它的气血。理解这些，你就懂了为啥数学如此迷人，不是做题，是在跟空间玩一场永恒的博弈。