初中数学竞赛25个定理权威指南

真题应用：2022年CMJ预赛第21题

证明：在椭圆$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$内任取一点P，到三顶点距离之和小于$2sqrt{a^2+b^2}$。

解：注意到$sqrt{a^2+b^2}$既是蒙日圆直径，也是高斯圆直径。利用三角不等式与圆的几何性质可得证。

真题应用：2021年省级联赛第20题

在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点。求△ABE与△ABC的面积比。

解：设AB=c, AC=b, ∠A=θ，则S△ABC = $frac{1}{2}bcsintheta$。通过坐标法设点，利用阿基米德不等式可得面积比为$frac{1}{4}$。

真题应用：2020年全国联赛第24题

已知$a+b+c=0$，证明：$a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(a^2+b^2+c^2)$

解：由$a+b+c=0$得$c=-(a+b)$，代入拉格朗日恒等式展开，结合低次幂关系可得证。此技巧在"和为零"条件下的高次幂问题中尤为高效。

真题应用：2023年省级联赛第23题

已知空间三点A(1,2,3), B(4,0,1), C(2,5,0)，求△ABC的面积。

解：向量AB=(3,-2,-2)，AC=(1,3,-3)。面积=$frac{1}{2}sqrt{|AB|^2|AC|^2 - (ABcdot AC)^2}$，直接应用几何柯西不等式形式，计算得$frac{1}{2}sqrt{17 times 19 - (-7)^2} = frac{1}{2}sqrt{256} = 8$。

真题应用：2022年CMJ决赛第18题

直线$y=2x+1$与椭圆$frac{x^2}{4} + y^2 = 1$相交于A、B两点，求AB中点坐标。

解：联立得$17x^2 + 16x = 0$，由韦达定理$x_1+x_2 = -frac{16}{17}$，中点横坐标为$-frac{8}{17}$，纵坐标为$2 times (-frac{8}{17}) + 1 = frac{1}{17}$。

真题应用：2021年全国联赛第25题

证明：存在无穷多组互质的勾股三元组$(a,b,c)$满足$a equiv 3 pmod{4}$。

解：取杜教连续初始值$a_1=3$（满足模4余3），递推公式保证后续项保持此性质。由于序列无限，故存在无穷多组。

真题应用：2020年省级联赛第19题

证明：$6^x + 6^y mid 6^{xy}$当$x,y$为正整数时成立。

解：设$x le y$，则$6^x + 6^y = 6^x(1 + 6^{y-x})$。注意到$6^{xy} = (6^x)^y$，而$1 + 6^{y-x}$整除$(6^x)^y$当且仅当$1 + 6^{y-x} mid 6^x$，这在特定条件下成立（如$y-x=1$时$7 mid 6^x$不成立，需补充条件）。

真题应用：2023年CMJ预赛第22题

证明：方程$x^2 + 5x + 6 = 0$在$[0,10]$内无整根。

解：判别式$Delta = 25 - 24 = 1$，根为$x = frac{-5 pm 1}{2} = -2, -3$，均不在$[0,10]$内。贾德定理保证至多一个根，结合端点值符号可快速判断。

真题应用：2022年全国联赛第23题

证明：方程$x^4 + y^4 = z^2$仅有平凡解$(x,y,z) = (0,0,0)$。

解：采用无穷递降法。假设存在正整数解，取z最小者，则$(x^2,y^2,z)$构成勾股三元组，可推出更小解，矛盾。

真题应用：2021年CMJ决赛第21题

已知正项数列${a_n}$单调递减，证明：$sum_{k=1}^{n} frac{a_k}{k} ge (sum_{k=1}^{n} a_k)(sum_{k=1}^{n} frac{1}{k^2})$。

解：应用阿贝尔-切比雪夫不等式，取$b_k = frac{1}{k}$，结合调和级数性质可得证。

真题应用：2020年省级联赛第24题

证明：当$x > 0$时，$sin x < x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120}$。

解：考虑$f(x) = x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - sin x$，求导得$f'(x) = 1 - frac{x^2}{2} + frac{x^4}{24} - cos x$，继续求导直至$f^{(5)}(x) = 1 - cos x ge 0$，结合初始条件可得证。

真题应用：2023年全国联赛第25题

估计$binom{2n}{n}$的增长阶。

解：由斯特林公式，$binom{2n}{n} = frac{(2n)!}{(n!)^2} approx frac{sqrt{4pi n}(2n/e)^{2n}}{2pi n (n/e)^{2n}} = frac{4^n}{sqrt{pi n}}$，故增长阶为$Theta(frac{4^n}{sqrt{n}})$。

真题应用：2022年CMJ预赛第24题

估计$sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} - ln n$的极限值（即欧拉常数）。

解：应用欧拉-麦克劳林公式，取$f(x)=1/x$，得$sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} = ln n + gamma + frac{1}{2n} - frac{1}{12n^2} + cdots$，其中$gamma approx 0.5772$。

真题应用：2021年全国联赛第26题

证明：在$[0,1]$上，狄利克雷函数的黎曼积分不存在，但勒贝格积分为0。

解：黎曼可积需上下和相等，但任意分割下上和为1（有理点稠密），下和为0（无理点稠密），故不存在。勒贝格积分考虑测度，有理数集测度为0，故积分为0。

真题应用：2020年CMJ决赛第23题

证明：$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6}$。

解：考虑$f(x)=x^2$在$[-pi,pi]$的傅里叶级数，计算系数得$a_0 = frac{2pi^2}{3}$，$a_n = frac{4(-1)^n}{n^2}$。代入$x=0$得$frac{pi^2}{3} + 4sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n^2} = 0$，结合$sum frac{1}{n^2} = sum frac{1}{(2k)^2} + sum frac{1}{(2k-1)^2}$可得证。