四边形有哪些定理-四边形主要定理

四边形，这东西听起来像个几何课本里那种冷冰冰的、撕掉角标就看不懂的符号，实际上人脑里的模型早就把它搞崩了。在初中数学的真空格里，它一般被定义为四条边、四个角，一个内角和等于 360 度的标准容器。但当你真正拿它在桌子上转，要么把它揉成一张白纸当沙盘盖，你会发现这玩意儿在现实世界里是个无孔不入的庞然大物。 有些四边形是“正儿八经”的规矩鬼，比如正正方形和正矩形。它们就像数学世界里的黄金，没有任何歪斜。
比如一个正方形，它的边长要是 5 米，面积直接开根号就是 25 平方米，周长嘛，四条边加起来就是 20 米。
要是把边长改成 8 米，面积蹦到 64，周长又增添到了 32。
这种图形的稳定性一绝，像弹簧一样，受力后不会乱扭，要不就你把它掰弯。
反过来看，要是把正方形略微压扁一点变成平行四边形，边长不变，周长还是 32，但面积就缩水了，出于底乘以高那个公式，高度变小了，面积自然腰斩。再要是把那个平行四边形压成对角线互相垂直的菱形，边长要是 7 米，面积直接飙到 $7 times 7 times sin(60^circ)$，也就是约等于 46.87 平方米，比正方形还大。
这时候还得加个对角线，算出长度大约 9.6 米，整个组合体的体积也就出来了，别看不是立体图形，但那种膨胀感是真的。 不过，现实中的四边形大多是“变异体”，也就是那些非正形状的家伙。
比如一个直角梯形，它像个被一刀切开的蛋糕，一边是直的，一边是斜的。
要是把它切出来的那个矩形的高是 12 厘米，下底是 8 厘米，上底是 4 厘米，那它的面积不就是 $8 times 12$ 的一半吗？也就是 48 平方厘米。
这个计算在工程上特别有用，比如盖房子时算屋顶的覆盖面积，要么裁剪布料时的布料损耗。
要是把这个梯形拉伸，变成一个等腰梯形，底边要是 10 厘米，腰是 9 厘米，高要是 15 厘米，那它的面积依然是 $frac{10 times 15}{2} = 75$ 平方厘米。
有趣的是，只要平行边和高的乘积不变，面积就不变，哪怕你把它无限拉长，变成一条线段，面积理论上归零，出于它两条平行线之间的距离变成了 0。 再说说角度，这玩意儿最搞人心态。内角和一辈子是 360 度，这是个铁律，跟你是正方形还是八边形没关系。但外角和呢？外角和恒等于 360 度，这也是个铁律，不管你如何转，只要你没转回原点，外角和一辈子堵死在 360。举例来说，一个矩形的外角和肯定是 360 度，两个 90 度的 180 度，四个 90 度的 360 度。
那一个长方形加半圆切的扇形呢？它的外角和依然是 360 度。
这就好比你绕着个家具转一圈，不管家具是啥形状，你转的圈数总和一辈子是一圈。 说到对角线，这可是四边形的灵魂所在。对角线能把一个四边形切成两个三角形。正方形切成两个正方形，面积加起来等于原正方形的两倍。平行四边形切成两个全等的三角形，那这两个三角形面积之和等于原平行四边形。菱形呢，切成两个等腰三角形，面积之和等于原菱形。
那一般的四边形，比如刚刚那个直角梯形，切出来的两个三角形面积之和，自然就是原梯形的面积。
这背后的逻辑挺好办，三角形面积=底乘高除以二，既然两个三角形拼起来就是整个四边形，那公式自然就坐实了。 有些图形看起来像箭头，这是平行四边形。它的上下两边平行，左右两边也不平行。你要是拿它画个长方形，它就是个扁耳朵的平行四边形。
要是底是 6 厘米，高是 4 厘米，那它的面积就是 24 平方厘米。
要是把这个平行四边形拉得细长，变成一个细长的矩形，底还是 6 厘米，高变成 8 厘米，面积就冲到了 48 平方厘米。
这时候你会发现，长宽比变了，面积指数级增长，而周长呢？原来周长是 $6+6+6+4=22$，拉成长方形后周长变成 $6+6+8+5=25$。
这说明别看面积大了，但周长反而变长了。
这在实际应用里挺有意思，比如修屋顶，你要是把平屋顶改成斜坡，别看覆盖面积（屋顶的面积）可能差不多，但你用的瓦片数量可能会变多，要么总跨度变长了。 还有个概念叫筝形，也叫跳棋盘要么风筝。它有两条对角线，其中一条平分另一条。
这意味着它有两条相等的邻边，像飞机机翼一样。
要是四条边都相等，那就是菱形了。
这种图形在建筑里挺常见，比如某些窗户的设计，要么屏风的结构。 最终不得不提的是梯形。它比平行四边形多了一个角。
要是它是个直角梯形，一边是直角，那就是个直角梯形。
要是是个斜的，那就是一般梯形。它的面积公式是 $frac{1}{2}(a+b)h$，这个公式就像它的大脑，只要知道上下底边长和它们之间的距离，就能算出面积。
这在实际应用中无处不在，比如我们种树的时候，要是两棵树的间距是 10 米，它们的高度差是 5 米，那它们之间的最大覆盖面积就是 $frac{(10+5)}{2} times 5 = 37.5$ 平方米。
这个模型时常出目前生态工程的计算里。 总的来说，四边形是个贼矛盾又充满魅力的东西。它在数学世界里是完美的、稳定的、可计算的；在物理世界里，它又软弱、易变形、受环境影响。它既是完美的正方形，又是扭曲的平行四边形；既是稳定的框架，又是易碎的纸片。我们在它身上看到了数学的严谨，也看到了几何学的灵活。
有时候，我们看到的不是几何图形，而是工程结构、家具布局就连是皮肤上的某些纹路。
只要撇开那些枯燥的定义，你会发现，四边形实际上就是我们在空间中划出的任何一块区域，只不过被限制了四条边的缘故。