动量定理板块模型-动量定理板块模型

力学板块模型一直是高考物理里的“硬骨头”，也是近三年物理压轴题最常客的类型。别总想着往教科书里找答案，那些死板的光图分析、符号推导，在考场解题时只会让你和那些高分答卷拉开差距。物理理科生得学会用脑子去“玩”模型，像玩俄罗斯方块一样，如何组合、如何旋转、如何拼接，全看个人手感。 先把板子模型拆解清楚，这是做题的第一步，也是最关键的第一步。板块模型里，物体在水平面上运动，受力分析往往聚拢在“板”身上。板受重力、赞成力、摩擦力和外力（比如拉力、推力），物受重力、赞成力、摩擦力和可能有的外力（比如拉力）。
这里的“滑”字用得准，题目里的“滑”字实际上就藏着解题的钥匙。一旦滑开了，就是相对运动，就是加速度相等的运动学难题。 我们拿一个最经典的动量模型来聊聊。一个平板车在光滑水平面上，车后拖着一个小孩，要么反过来，给孩子一个力，让孩子滑行。
这时候，动能定理和动量定理哪个好用？动能定理算出的是能量，动量定理算出来的是速度，这俩玩意儿在解题里各有各的用法，但本质都指向同一个结论：当系统动量守恒的时候，往往不需求知道中间经历了多久的碰撞过程，只需求瞪大眼一看，冲量就出来了。 举个例子吧。假设一辆质量是 2kg 的平板车，后面拴着一个质量是 1kg 的小球，给球一个水平向右的冲量，冲量是 2N·s。
这时候，小球正在加速，车也要跟着动。
要是这时候板子动起来了，那这就不是单纯的冲量难题了，这时候得用动量定理。球受到的冲量等于球动量的变化量，而板子受到的反功本事害得板子动量的变化。
这时候，要是直接去算板子的位移，那就是多此一举了，出于板子的位移实际上和车上的物体没直接关系，要不就板子本身有滑动摩擦。 再比如一个更复杂的模型：传送带上有两个质点，一个轻质板子，上面挂着一个小球，板子后拖着一个滑块。滑块在板子上滑动，板子又和地面有摩擦。
这时候就要小心了，滑块在板上滑动的过程中，板子的运动状态可能会变，但滑块和板子之间的相对速度是非零的。
这时候，动量定理就发挥得淋漓尽致了。系统总动量守恒，总动量的变化量等于系统外力的冲量。
只要抓住这个“总动量”，后面那套复杂的受力分析图纸瞬间就没了。 这里有个挺关键的细节要搞懂：啥时候能够用动量定理直接求速度，啥时候务必用能量守恒要么牛顿运动定律。
这一般取决于接触面是否存有相对滑动。
要是接触面粗糙，有滑动摩擦，那么这时候的动量定理就是有效的，出于有力矩。
要是接触面光滑，没有相对滑动，那就是纯机械守恒了。但现实情况往往是接触面不光滑却有相对滑动，这时候就得小心了，别把滑动摩擦力当静摩擦力用，也别把静摩擦力当滑动摩擦力用。 举个例子。假设一辆板车质量为 M=2kg，车上固定着一个质量为 m=1kg 的物体，板车后拖着一个质量为 m=3kg 的滑块，滑块和板车之间无摩擦。给滑块一个水平向右的恒力 F=4N。
这时候，滑块在板车上滑动，板车也动了。
这时候，要是我们直接用牛顿第二定律去求加速度，那就要分别对滑块、对板车列方程。对滑块：F - μsm = ma1；对板车：F' + μsm = ma2（这里 F' 是滑块给板车的摩擦力）。
这俩方程解出来的是 a1 和 a2，然后就是运动学难题了。 但要是换个角度，从系统的角度思索。系统总动量守恒，出于水平方向不受外力。设系统总质量为 M+m=5kg，初速为 0，末速为 v。
那么系统动量的变化量就是 v5。而这个动量的变化量，等于系统在水平方向受到的外力的冲量。外力就是摩擦力。摩擦力是内力吗？不是。滑块的摩擦力和板车的摩擦力是功本事与反功本事，大小相等、方向反之。它们这对内力，对系统总动量的变化没有贡献。真正的系统外力，就是给滑块的那 4N 的力。
故此，系统动量的变化量就等于 4N 的力乘以滑块在水平方向的位移。 这里就要用到一个常见的误区了。大量同学在滑动过程中，会毛病地把板车的位移当成滑块在水平方向上的位移，要么把两者的平均速度直接相乘再乘以工夫。
这彻底是错的！板块模型里，滑块和板车往往与此同时存有水平位移，就连存有相对位移。
这时候，动量定理里的位移，务必是物体在水平方向上的位移分量。
要是板车做往复运动，那就要分段聊聊，要么用积分的思想，把滑块在整个过程中的水平位移累加起来。 这就涉及到一个挺实用的技巧：动量定理在板块模型里的终极用法——求末速度。大量时候，题目问的是滑块最终停在了板车上的哪个位置，要么板车啥时候停下来，这时候就需求用到动量定理和运动学公式联立求解。
比方说，滑块滑到板车右端暂停，要么滑块和板车达到共同速度。
这时候，系统内力的冲量别看存有，但出于内力成对出现，总冲量为零，故此系统总动量依然守恒。
这时候，要是我们知道系统总动量，就能够直接求出系统达到共同速度时的速度 v_共。
然后呢？用平均速度公式要么位移公式，算出滑块滑行的距离，再结合能量守恒要么牛顿定律，就能解决最终的难题。 再深入一点，讲讲动量定理在求极值难题时的应用。
比方说，给滑块一个初速度，让它滑上板车，然后板车又滑向某个方向。
这时候，滑块在水平方向上克服摩擦力做了功，把动能转化成了内能。
这时候，我们能够说，系统的总动量守恒，但总能量不守恒。
不过，要是我们关切的是滑块在滑车过程中，滑块与板车之间的相互功本事作为内力，那么内力对系统的动量变化没有贡献。
这时候，要是我们把滑块看作一个物体，板车看作另一个物体，我们能够分别对它们列动量守恒方程。 比如，一个质量为 m 的滑块，以 v0 滑上一个质量为 M 的静止板车。滑块滑到最右端，相对板车滑行了距离 d。
这时候，要是我们设滑块最终速度为 v1，板车最终速度为 v2。根据动量守恒，有 mv0 = mv1 + Mv2。
这时候，我们还需求一个方程。
这个方程，往往是从能量角度出发的，要么是从运动学角度出发的。但要是我们要找的是“相对滑动距离”的难题，这时候能够用动量定理的另一种形式：冲量等于动量的变化。 什么的，这里有个挺好的切入点。
要是滑块在水平方向上受到的合外力就是摩擦力，那么滑块在水平方向上的动量变化量，就等于摩擦力对滑块的功本事相对于滑块的位移的冲量。但这还不够。我们需求的是系统总动量守恒。 让我们回到刚刚那个例子，一个质量为 M 的板车，后拖一个质量为 m 的滑块，给滑块一个初速度 v0。滑块的摩擦系数是 μ。当滑块滑到最右端时，相对滑行了距离 d。
这时候，我们能够用动量定理来求 v2。 对系统应用动量定理：系统初动量是 mv0，系统末动量是 (m+M)v2。系统受到的外力冲量是多少？水平方向不受外力，故另外力的冲量为 0。
故此，mv0 = (m+M)v2。 解得 v2 = mv0 / (m+M)。 然后，根据能量观点，系统损失的动能等于摩擦力做的功。摩擦力大小是 μmg，滑块相对位移是 d。
故此损失的能量是 μmgd = 1/2 mv0^2 - 1/2 (m+M)v2^2。 这时候，我们就能够用动量定理和能量守恒联立，求出相对滑行的距离 d。 再举个反例。
要是题目问的是滑块在水平方向上移动了多少距离 x，这时候就不能用好办的动量定理求位移了。出于系统动量守恒，但这不代表滑块的水平位移和板车的水平位移有好办的线性关系。
这时候，务必分别列牛顿第二定律的方程，解出加速度，再用运动学公式 x = 1/2 at^2 来算。
这是出于在水平方向上，滑块和板车都是受恒定摩擦力功能的，故此加速度恒定，运动学公式适用。 这里要特别提醒一点，大量同学在动量定理的应用上好办混淆“动量守恒”和“动量定理”。动量守恒是矢量关系，适用于孤立系统。而动量定理是标量关系，适用于有外力功能的物体。在板块模型中，当我们寻思水平方向的动量变化时，只有水平方向上的外力才会形成变化。
要是外力只有水平方向的，那么水平方向上的动量定理就是 mv1 - mv0 = Ft。
这时候，F 就是摩擦力，t 就是功能工夫。 再来看一个能量转化的周期性难题。
比方说，一个板块模型，板车与滑块之间无摩擦，板车与地面有摩擦。
这时候，板和车做往复运动。
这时候，动量定理还是适用的，出于水平方向不受外力，系统动量守恒。
可是能量不再守恒，出于有摩擦生热。
这时候，要是我们想求滑块在某个时刻的速度，能够用动量定理求速度 v = mv / (M+m)。而求滑块在水平方向上移动的距离，这时候就需求用到能量守恒了，出于能量别看不守恒，但板车与地面之间的摩擦力做功等于系统机械能的削减量。 再深入一点，讲讲动量定理在求工夫的难题。有些题目，给了末速度，求工夫。
这时候，要是直接用动量定理 Ft = Δp，那 F 得知道，t 得知道，要么 Δp 得知道。但大量时候，题目给的是加速度，要么给的是位移。
这时候，我们就不能直接用 Ft = Δp 了，得用运动学公式。
可是，要是我们能利用动量定理的结论，比如系统总动量守恒，能够求出某时刻的速度，再结合运动学公式就能够求出工夫了。 再举一个具体的例子。一个质量为 M 的板车，后拖一个质量为 m 的滑块，滑块初速度 v0，板车初速度 0。滑块与板车之间的动摩擦系数为 μ。求滑块在板车上的相对位移 d。 这时候，我们先用动量定理求共同速度。对系统：mv0 = (m+M)v_共。v_共 = mv0 / (m+M)。 然后求相对位移。用能量观点最直接：μmgd = 1/2 mv0^2 - 1/2 (m+M)v_共^2。 代进去算：μmgd = 1/2 mv0^2 - 1/2 (m+M) (mv0 / (m+M))^2 = 1/2 mv0^2 - 1/2 m v0^2 / (m+M) = 1/2 mv0^2 [1 - m/(m+M)] = 1/2 mv0^2 M/(m+M)。 故此 d = M v0^2 / [2μg(m+M)]。 这个例子实际上包含了动量定理、能量守恒、牛顿第二定律、运动学公式四个知识点。 再来说一个好办出错的点。大量同学做板块模型，喜爱把所有的运动都当成匀变速直线运动来处理。
这没错，出于摩擦力一般是恒力，加速度一般是恒量。
可是，要是题目中涉及到变加速运动，比如挡板突然撤去，要么拉力突然转变，这时候就要灵活了。
这时候，动量定理依然有效，出于水平方向不受外力，动量依然守恒。
可是，这时候就不能用匀变速运动的公式了，得用积分要么分段聊聊。 再讲讲动量定理在求极值中的应用。
比方说，滑块在板上滑动，板车与地面有摩擦。
这时候，滑块在水平方向上的位移和板车的位移，哪个大？哪个先停？这时候就需求用到动量定理结合能量方程。
比方说，当滑块刚滑到最右端时，系统动量守恒，速度为 v_共。此时系统机械能为 E_kin = 1/2 (m+M)v_共^2。
这个能量等于初动能减去摩擦生热。摩擦生热 Q = μmgd。而初动能是 1/2 mv0^2。
故此 1/2 mv0^2 = 1/2 (m+M)v_共^2 + μmgd。 这时候，要是我们想求滑块在水平方向上移动的距离 x，x 就等于 d。 而 d 能够用运动学公式求吗？也能够。出于滑块在水平方向上做匀减速运动，加速度 a1 = -μg。初速度 v0，末速度 v_共。
故此 d = v0 t - 1/2 a1 t^2。而滑块在水平方向上的位移 x = x_共 + d'，其中 x_共 是板车的位移。板车做匀减速运动，加速度 a2 = -μg。初速度 0，末速度 v_共。
故此 x_共 = 1/2 a2 t^2。 故此 x = 1/2 a2 t^2 + v0 t - 1/2 a1 t^2。 出于 a1 = a2 = -μg，故此 x = v0 t - 1/2 μg t^2 + 1/2 μg t^2 = v0 t。 这验证了之前的结论：在板块模型中，滑块在水平方向上的位移等于板车在水平方向上的位移加上相对位移。 再来看一个动态平衡的难题。
比方说，一个滑块在光滑水平面上运动，板车在另一个光滑水平面上运动，两者之间有摩擦力。
这时候，系统动量守恒，系统能量不守恒。
这时候，要是要让滑块最终停在某个位置，要么板车停下来，这时候就需求用到动量守恒和能量守恒。 比如，滑块初速度 v0，初位置在左侧，板车初位置在右侧，两者相距 L。滑块滑上板车。当滑块滑到最右端时，相对滑行了距离 d。
这时候，要是滑块和板车都停下，那么系统总动量为 0。初动量为 mv0。根据动量守恒，mv0 = 0？这显然不对。说明板车不可能停下，要不就有外力。 要是是板车与地面有摩擦，木板与地面有摩擦，且摩擦力充足大，使得板车停下，滑块停下。
这时候，系统动量守恒（假设地面光滑），但能量不守恒。 要是是滑块与板车之间无摩擦，板车与地面有摩擦，滑块与地面有摩擦。
这时候，系统动量守恒，系统能量不守恒。 这时候，要是我们用动量定理，系统初动量 mv0，末动量 0。
故此总冲量 Ft = -mv0。
这个冲量 F 是地面给板的阻力。
故此 t = mv0 / F。 这时候，滑块在水平方向上的位移 x = v0 t - 1/2 a t^2。板车在水平方向上的位移 x_板 = 1/2 a t^2。相对位移 d = x - x_板 = v0 t - 1/2 a t^2 - 1/2 a t^2 = v0 t - a t^2。 这就说明，滑块在水平方向上的位移等于板车在水平方向上的位移加上相对位移。 再具体一点，一个质量为 M 的板车，后拖一个质量为 m 的滑块，滑块与板车无摩擦，板车与地面有摩擦。滑块给板车一个水平向右的推力 F。求滑块在板车上的相对位移。 这时候，对系统应用动量定理。系统初动量 0，末动量 (m+M)V。系统受到的合外力为 F（推力），故此 Ft = (m+M)V。 这时候，滑块在水平方向上的位移 x，板车在水平方向上的位移 x_板，相对位移 d = x - x_板。 对滑块应用牛顿第二定律：F - f = ma。f = μmg。
故此 a = (F - μmg)/m。 对板车应用牛顿第二定律：f - F = M a_板。
故此 a_板 = (μmg - F)/M。 这时候，滑块在水平方向上的位移 x = 1/2 a t^2。板车在水平方向上的位移 x_板 = 1/2 a_板 t^2。 相对位移 d = x - x_板 = 1/2 (ma - M a_板) t^2。 出于 Ft = (m+M)V，故此 V = Ft / (m+M)。 这里有个难题，要是题目没有给工夫 t，我们就不能直接写出 x 和 x_板。
这时候，我们需求用能量观点。 不对，题目给了推力 F，没给工夫。
这时候，我们实际上能够求滑块在水平方向上的位移。 滑块在水平方向上的位移 x = v0 t - 1/2 a t^2。 这里没有初速度 v0 啊。题目没有给 v0。 那只能这样，题目给了推力 F，没给 v0。
这时候，滑块和板车如何会动呢？肯定有初始条件。 比如，给滑块一个初速度 v0。
那滑块在水平方向上的位移 x = v0 t - 1/2 a t^2。 板车在水平方向上的位移 x_板 = 1/2 a_板 t^2。 相对位移 d = x - x_板 = v0 t - 1/2 a t^2 - 1/2 a_板 t^2。 出于 a = (F - μmg)/m，a_板 = (μmg - F)/M。 故此 d = v0 t - 1/2 [(F - μmg)/m + (μmg - F)/M] t^2。 这就能够解出 d 了。 再举个贼典型的例子。一个质量为 M 的板车，后拖一个质量为 m 的滑块，滑块与板车无摩擦，板车与地面有摩擦。给滑块一个水平向左的初速度 v0。求滑块在板车上的相对位移。 这时候，系统初动量 -mv0，末动量 0（出于板车停下）。根据动量守恒，-mv0 = 0？这不对。说明板车没有停下，出于它有摩擦力，故此板车会有反向运动？不对，板车是向右运动的，摩擦力向右，板车受力 F_friction 向右，F_friction = μmg。板车受力 F_friction 向右，外力 0。
故此板车做加速运动。滑块受力 F_friction 向左，做减速运动。 故此，最终滑块和板车都没有停下。
这时候，系统动量守恒。 系统的总动量守恒，等于 F_friction 功能的工夫冲量。 这个例子忒长了，我要精简一下。 总结一下，板块模型解题的核心就四个字：动量守恒。
1.先找外力。水平方向不受外力，动量守恒。
2.再找内力。内力成对出现，对系统总动量无贡献。
3.最终求量。动量定理求速度，能量守恒求位移。
4.注意细节。相对滑动是重点，注意位移的区分。 动量定理在板块模型里的用法，实际上并没有那么复杂。大量同学认定难，实际上是出于他们把动量定理和能量守恒混为一谈了。动量定理是解决速度难题的利器，能量守恒是解决位移难题的正儿八经的工具。两者结合，就是完美的解题方案。 最终再说一个关于“陷阱”的难题。大量同学在解决动量定理的难题时，会犯这样的毛病：把板车的水平位移当成滑块的水平位移。
这是大忌。板块模型里，滑块和板车往往与此同时运动，就连反向运动。
这时候，务必分别列方程，要么用相对位移公式。 再讲一个关于“极值”的难题。
比方说，滑块在板上滑动，板车与地面有摩擦。
这时候，要是题目问的是滑块在啥时刻速度最大，要么滑块在啥位置速度最小。
这时候，就要用到导数了。
这时候，动量定理求出的速度 v = mv / (M+m)，这个速度是系统最终的共同速度。而滑块在水平方向上的速度是 v_s = mv / (M+m) - μg t。
这时候，要是对 t 求导，就能求出速度最大的时刻。 要是题目问的是滑块在啥位置停下。
这时候，就要联立动量定理和运动学公式。 总而言之，就要记住，动量定理是板块模型的灵魂。
只要抓住系统动量守恒，剩下的就是运动学难题了。
只要把位移搞对，把内外力分清，这道题就没难题了。