勾股定理是什么时候学的-勾股定理何时学会

勾股定理：当长度遇上长度时，上帝可能没写注释 人类历史上第一次遇到这种“硬碰硬”的数学难题，实际上是在两千多年前的古埃及。
那时候人还没进化到能算出完美的圆来建神庙，也没法用三角函数去预测天气变化。他们活着的时代，世界是一座没有圆规的城池，要是你想去量一下长城的长度，要么算一下斜着插在地里的篱笆有多高，那简直就是个无解的难题。 直到公元前 6 世纪左右，在波斯帝国的法里布里（Phalaris）那里，人们启动尝试解这类方程。
不过，法里布里是个大词头，只出了一本《度量》，里面也找不到勾股定理的影子。真正的转机可能要等到古希腊了。 海伦（Heron of Alexandria）是个大胖子，也是个地理学家。他在公元 2 世纪写了一本叫《几何》的大书。
这本书里确实讲过勾股定理，但这书里是没有公式的。海伦是个大笨蛋，他讲解勾股定理，纯粹是靠看图讲话。他在书上画了几幅图，告诉你：要是直角三角形的两条直角边长分别是 3 和 4，那斜边就是 5。
这就叫勾股定理。但难题是，图里的 3、4、5 只能是整数。
要是你想要 6、8、10 呢？
要么 5、12、13？这书里根本不能解。 古希腊的数学家们一启动也不信。他们认定：要是这个定理是确实，那一定有办法算出来。但当时的几何学框架里，没有变量。
没有 $x$，没有 $y$，没有 $a^2 + b^2 = c^2$ 这种能解出未知数的结构。他们只能在图里找整数解，要么用无限缩放的方式画出一连串越来越大的、越来越接近 3-4-5 的三角形，以此作为证明。 这就像是一个人在迷宫里找出口，但他手里只有放大镜，只能看清那些相邻边长的差值，却看不清整个迷宫的全貌。直到古希腊的毕达哥拉斯学派，也就是那个搞了点几何证明、最终搞了点代数证明的“上帝级”团队，才真正让这一章“活”了起来。 毕达哥拉斯学派有个概念叫“毕达哥拉斯定理”（Pythagorean theorem）。他们的证明方式挺特别，直接点破来的：直角三角形面积等于两个直角边乘积的一半，也等于斜边乘以斜边再除以 2。
这就等于说，两个直角边乘积的一半，等于斜边乘斜边再除以 2。两边消掉一半，剩下的就是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这就好比两个人吵架，一个说：“我手里有一堆沙（直角边），捏成了一堵墙（斜边），这两块地的面积加起来，正好等于这块地（斜边）本身的面积。”道理挺好办，但当时没人信，出于没人能算出这个等式背后的物理意义。 到了公元 3 世纪，思路又变了呢。古希腊人启动玩“拼图”游戏。他们发现，要是你有两个正方形，边长分别是 $a$ 和 $b$，把其中一个剪开，拼成一个大正方形。
要是拼法不同，拿到的结局要么是一个边长为 $a+b$ 的大正方形，要么就是那个经典的 3-4-5 三角形。 这就挺有意思了。边长为 $a+b$ 的大正方形面积是 $(a+b)^2$。而剩下的两个小正方形面积分别是 $a^2$ 和 $b^2$。
故此 $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + (text{两个直角边之间空缺局部的面积})$。 要是你把这个空缺局部的面积算出来，你就会发现它等于 $c^2$。
这就证明白 $c^2 = a^2 + b^2$。 可是，这个证明有个庞大的漏洞。它假设了“两个直角边之间空缺局部的面积”一直能算出来的，要么一直和 $c^2$ 相等。但这彻底取决于你如何拼。
要是你拼错了，要么用了一种非欧几里得的方式拼，这个结论就失效了。 那时候的人们认定，这个定理只是对直角三角形成立，并没有推广到一般三角形。就像把西瓜切开，只在半边皮上切一刀，认定那是西瓜的半，另一半实际上跟它彻底没关系。 真正的突破形成在公元 300 年左右，一位叫欧几里得（Euclid）的数学家。他写了本《几何原本》。
这本书里不只是是讲几何，它就连带点代数。欧几里得没有用面积法来证，他用了一种彻底不同的方式。 他定义了一条直线上的点。
然后他证明白：要是两条直线相交，那么过交点且垂直于其中一条的直线，一定垂直于另一条。
这实际上就是公理。 接着，欧几里得定义了平行线。他在证明里说：要是两条直线被第三条直线所截，并且同位角相等，那么这两条直线平行。 有了这些公理，欧几里得启动推导勾股定理。他的证明过程贼严谨，像极了现代数学教材里的标准答案。他通过构造直角三角形，利用平行线的性质，一步步推导出 $a^2 + b^2 = c^2$ 这个结论。 这时候，大家终于启动信任这个定理了。出于它不再是靠“拼图”要么“任意缩放”来凑数的，而是有了坚实的公理地基。 可是，就算有了欧几里得的证明，数学界还是有大量争议。
比方说，勾股定理能不能推广到非直角三角形？能不能推广到高维空间？ 到了 17 世纪，法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）是个谜。他天真地当作勾股定理是数学的图腾，是数学之树的最高枝。他就连撰写了《论勾股定理》这本书，论证了直角三角形（还有更高维空间中的勾股定理）是普遍真理。他坚信，只要把 $a$ 和 $b$ 换成其他变量，定理依然成立。 但结局却是意料之外的。到了 17 世纪后半叶，德国数学家罗伯特·韦斯特鲁普（Robert Weyl）才在《哥德尔猜想》中证明白：勾股定理不能在一般三角形里推广，也不能推广到高维空间。 这就好比有人告诉你：“数学这东西，看起来特别神奇，所有东西都能套进去。”但后来发现，有些东西只能用在二维平面上，一旦你略微往高维度一推，原来的规则就失效了。 故此，勾股定理学的过程，实际上就是一场从“看图讲话”到“严谨证明”，再到“发现边界”的探索。从公元前 6 世纪几百年的混沌，到 17 世纪两百多年的发现，中间经历了无数次的尝试、推翻和修正。 最关键的是，勾股定理并没有消亡。它只是换了一种说法。目前我们在高维空间里写代码，要么在三维建模里做碰撞检测时，实际上依然在使用勾股定理的思想——计算两点之间的距离。只是我们不再把它局限在二维的直角三角形里，而是把它抽象成一组向量点积的计算。 故此，当你下次看一个直角三角形时，你看到的不只是是一个几何图形，它是数学逻辑在二维世界最古老、最稳固的体现之一。