方法一:面积拼接法
就像剪两张一模一样的门板,把其中一张旋转 180 度,倒扣在另一张上面。这时候,原来直角的那个角,就变成了一个钝角,而两个锐角呢?它们重合在了一起。
这时候,你看到的那个组合图形是一个大等腰直角三角形,它的直角边实际上就是原来那个直角三角形两条直角边之和。而这三个角里,有一个新的直角,由原来的两个锐角拼在一起形成了。
目前,在这个新的大三角形里,我们有两个彻底一样的小直角三角形。要是把它们分割出来,各自补全边,是不是就能拼成两个彻底一样的小正方形?一个放在大三角形的上方,另一个放在下方?要是是这样,那这两个小正方形的面积加起来,就等于大三角形的斜边本身乘以斜边的面积。
Area =
方法二:毕达哥拉斯的经典推导
我们设直角三角形的直角边为 和 ,斜边为 。那么小正方形的面积就是 和 。而大三角形的面积呢?它的底是 ,高也是 。
故此面积是 。根据刚刚的推导, 应当等于 减去中间可能存在的空隙或重叠部分(视具体拼图方式而定,此处采用经典的总统证法变体)。
展开算一下:。两边都减去 ,再除以 2,剩下的就是 。
方法三:代数恒等式验证
这个证明过程挺长的,就像绕路走回地铁站。但在几何的世界里,绕路也是一种必要的风景。它让我们看到了这背后的逻辑链条,而不只是是数字的巧合。
通过构建边长为 的大正方形,内部包含四个全等的直角三角形和一个小正方形(边长为 )。
化简得:。