区间套定理推论-区间套定理推论

有的哥们儿，你可能认定数学里的“区间套”听起来像是一种高深莫测的魔术，实际上它就挺好办，就像你在洗澡时，先把水调大，再调到小，最终把水温精确到一点点，直到它不再变化，这就是个死结，可这死结一旦解开，就能证明整个洗澡过程里水温是稳稳当当的。 我们拿这“区间套”来造个戏，故事里有个叫 $I_0$ 的大笼子，它稳稳地套着 $I_1$，$I_1$ 又套着 $I_2$，$I_2$ 又套着 $I_3$……这往下套下去，一直套到一个 $I_N$，最终你会发现，这所有的小笼子都收拢在一起，死死地钉住一个点。
这时候，你当作该就寝了，实际上难题还没完，出于我们要证明的是，这整个套子里面的点，都不是随机飘忽的，而是被紧紧锁定在一个共同的“核心”上。 为了验证这个核心到底长啥样，我们往 $I_0$ 里扔个鸡蛋。
这个鸡蛋的重量是 $0.5$ 千克，我们假设它掉进了 $I_0$ 的某个地方，并且它没有掉出来。
那么，根据那个著名的定理，$I_N$ 这个最终的笼子也肯定包含住这个鸡蛋。
这就好比，你的鸡蛋还在你手里，那它必然还在你刚刚那个尺寸比较小的口袋里。 好，目前我们要启动数数了。 起初，我们看 $I_0$ 这个大笼子，它的长度被设定为 1 米。在这个 1 米长的空间里，我们假设这只鸡蛋大约占了 20 厘米。
那么，剩下的空间大小就是 $1 - 0.2 = 0.8$ 米。 接着看 $I_1$，它的长度被设定为 $1/2$ 米，也就是 50 厘米。
这个笼子比刚刚那个大，总长度是 $0.5$ 米。
既然鸡蛋在里面，那它肯定还在 $I_1$ 这个笼子里。剩下的空间就是 $0.5 - 0.2 = 0.3$ 米。 再看 $I_2$，它的长度被设定为 $1/4$ 米，也就是 25 厘米。
这个笼子比 $I_1$ 还小，总长度 25 厘米。鸡蛋在里面，肯定还在 $I_2$ 这个笼子里。剩下的空间是 $0.25 - 0.2 = 0.05$ 米。 持续往下，$I_3$ 的长度是 $1/8$ 米，也就是 12.5 厘米。
这个笼子又更小了，总长度 12.5 厘米。鸡蛋在里面，肯定还在 $I_3$ 这个笼子里。剩下的空间是 $0.125 - 0.2$。
什么的，这里有个小难题，$0.125 - 0.2$ 是负数，说明笼子的总长度比鸡蛋占用的长度还小，这只鸡蛋不可能把 $I_3$ 整个占满，只能压住鸡蛋，剩下更低的空间是 $0.125 - 0.2 = -0.075$ 米。 好，目前我们就遇到了一个尴尬的转折点。
要是按照这个逻辑，$I_3$ 的长度不够，没法再往下套了。但这事儿不对劲，出于题目里说这整个序列是收敛的，并且我们要证明的是这只鸡蛋最终被锁死在某个确定的位置。 这时候，我们能够换个角度想。
既然 $I_0$ 里有个鸡蛋，那么 $I_1$ 里肯定也有鸡蛋，$I_2$ 里也肯定有鸡蛋。
这意味着，甭管 $I_0$ 套多松，$I_1$ 套多紧，$I_N$ 套多松，它们都包含同一个物体。 我们不妨假设，这只鸡蛋最终被锁死在某个长度 $L$ 处。
那么，$I_0$ 的长度务必大于等于 $L$，$I_1$ 的长度务必大于等于 $L$…… $I_N$ 的长度也务必大于等于 $L$。 目前想象一下，要是我们把 $I_0$ 的总长度强行拉大到 100 米，$I_1$ 拉大到 50 米，$I_2$ 拉大到 25 米……这样套下去，鸡蛋就会越来越好办被“挤”到深处。
只要 $I_N$ 的长度充足大，足以容纳这只鸡蛋，那我们就找到了一个共同点。 具体来说，要是我们设定 $I_0$ 的长度为 1，鸡蛋在 0.2 米处，剩余空间 0.8 米。
要是我们把 $I_1$ 的长度设定为 0.5，鸡蛋在 0.2 米处，剩余空间 0.3 米。
要是我们把 $I_2$ 的长度设定为 0.25，鸡蛋在 0.2 米处，剩余空间 0.05 米。你会发现，只要 $I_k$ 的长度大于鸡蛋占用的长度，剩下的那个“余量”就不会无限变小，也不可能变成负数。 要是 $I_N$ 的长度确实比 0.2 米还大，那这只鸡蛋肯定就缩进某个某个区间里不动了。 让我们重新审视一下最初的设定。$I_0$ 是 1 米，鸡蛋占 0.2 米，剩 0.8 米。$I_1$ 是 0.5 米，鸡蛋占 0.2 米，剩 0.3 米。$I_2$ 是 0.25 米，鸡蛋占 0.2 米，剩 0.05 米。$I_3$ 是 0.125 米，这比鸡蛋还短。
这意味着，要是按照这个速度往下套，$I_3$ 根本包不住鸡蛋，这显然不符合收敛的假设。 这说明我们的假设“鸡蛋最终被锁死在某个固定位置”是毛病的，要么说，我们用来衡量长度的标准有难题。
实际上，真正的数学逻辑是：甭管如何套，只要 $I_n$ 能包含住这个鸡蛋，那么 $I_n$ 的长度就一定大于等于鸡蛋的长度。
要是 $I_n$ 的长度越来越小，那它迟早会变得小于鸡蛋的长度，要不就鸡蛋本身的大小也随着变化，要么序列收敛到一点。 可是，这里有个更直观的例子。假设我们有一串房子，$I_0$ 是第一个院子，$I_1$ 是缩小一半的院子，$I_2$ 再缩小一半，一直缩到 $I_N$。我们扔一只金蛋进去。
这只金蛋最终会不会滚出这个院子？要是滚出来了，那说明$I_N$不够大，但这违背了收敛的定义，出于收敛意味着总有一个点被牢牢抓住。 故此，这只金蛋一定被死死地锁在一个点上。
这个点就是所有 $I_n$ 都包含的那个极限。
既然 $I_0$ 包含它，$I_1$ 包含它，$I_2$ 包含它，这说明甭管 $I_n$ 的长度如何变，只要它大于 0，它就能包含住这个金蛋。 这就好比你在路上走，前面有个人，你越走越远，但他不动，你最终发现你离他实际上挺近，就连已经到了他身后的距离。
这就是收敛的魔力。 让我们把数据具体化来感受一下这种“被锁死”的感觉。假设 $I_0$ 的长度是 100，$I_1$ 是 50，$I_2$ 是 25，$I_3$ 是 12.5，$I_4$ 是 6.25。
这只鸡蛋的大小是 5 米。 $I_0$ 能装下鸡蛋，剩 95 米空间。 $I_1$ 能装下鸡蛋，剩 45 米空间。 $I_2$ 能装下鸡蛋，剩 20 米空间。 $I_3$ 能装下鸡蛋，剩 7.5 米空间。 $I_4$ 能装下鸡蛋，剩 1.25 米空间。 目前看 $I_5$，要是我们设定 $I_5$ 的长度是 0.625 米，那它也能装下鸡蛋，剩 0.625 米空间（出于 0.625 > 5 是错的，应当是 0.625 < 5，装不下）。
这说明我们的计算有误，要么鸡蛋的大小变了。 让我们换一个说法。假设 $I_0$ 的长度是 100，$I_1$ 是 50，$I_2$ 是 25，$I_3$ 是 12.5，$I_4$ 是 6.25。
要是 $I_5$ 的长度是 3.125，那它也能装下鸡蛋，剩 2.125 米空间。
只要 $I_5$ 的长度大于 5，它就能装下鸡蛋。
要是 $I_5$ 的长度小于 5，比如 4 米，那它装不下鸡蛋，说明鸡蛋被挤出去了。但这不可能，出于收敛意味着总有一个点被抓住。 故此，这只鸡蛋一定被锁死在 $I_5$ 这个笼子内部，而 $I_5$ 的长度务必大于 5 米。
要是 $I_5$ 的长度确实大于 5 米，比如 6 米，那这只鸡蛋就彻底被锁住了，再也跑不掉，不能再移动了。 这就回到了原点。收敛定理告诉我们，$I_n$ 的长度序列必然收敛到某个值 $L$，这个 $L$ 就是极限。而这只鸡蛋，不管它如何动，只要它在 $I_0$ 里，那它肯定一直在 $I_N$ 里。 想象一下，你手里拿着一个球，你把一个盒子盖在上面，把另一个盒子盖在上面，一直盖到最终，最终那个盒子变得贼贼小，小到只能看到球的表面。
这时候，球的位置是固定的，它是被紧紧锁在那个最小盒子里的。你不能把它拿出来，也不能把它移动，否则小盒子就不存有了，要么球就出来了，这都不符合收敛的定义。 故此，区间套定理的证明，本质上就是一个过程，一个不断缩小包围圈的过程，直到剩下一个点。
这个点，就是那个被锁死的鸡蛋所在的位置。 你看，这就是数学的魅力，它不需求你去证明每一个细节，只需求你把这个包围圈缩小到极限，剩下的那个点，就是唯一的答案。
这个点不会离开，它就是那个答案，就是那个被锁死的点。 最终，我们总结一下。
这个定理说，$I_n$ 的长度收敛，意味着总有一个点被所有 $I_n$ 包含。
这只鸡蛋，甭管如何缩，只要它在 $I_0$ 里，就一定在 $I_N$ 里。
要是 $I_N$ 的长度充足大，足以容纳这只鸡蛋，那这只鸡蛋就被锁死在这个笼子里，不可能动摇了。 这就像你一直盯着一个壁虎，它爬得越来越慢，最终停在天花板上，但你一辈子看不到它下一步要去哪，出于它被锁定了。
同理，这个区间套，这个极限点，就是那个唯一不动点。 故此，我们得出结论：区间套定理，就是告诉我们，甭管如何套，总有一个点被死死抓住，这就是极限的存有。
这只鸡蛋，就是那个极限点，它被锁死在 $I_N$ 这个笼子内部，再也跑不掉，一辈子在那里。