满足罗尔定理的条件-罗尔定理成立

大量人一看到罗尔定理，脑子里立马蹦出来的就是“导数务必为 0"，然后立马查表、画图、套公式，生怕漏掉哪怕一个“局部”的零点。
实际上啊，这玩意儿跟那些严丝合缝的几何题根本不一样，更像是一场你发来了微信群，对方回了一个"?"，你在心里琢磨：“卧槽，他是不是没看到上下文？” 罗尔定理最核心的那个定理，本质上就是告诉你：要是一段路你走得够长，又起点和终点都在同一个高度，那你中间非得踩过那个“绝对零重力”的水平线不可。可现实里，你极少看到直线段要么匀速运动的情况，大局部情况都是弯道、上坡、下坡，就连是那种里外圈速度一样的过山车。
这时候，导数未必非要是 0，它可能只是正了又负了，要么忽大忽小。 比如咱们拿零度温度计做个比方。假设你在 1 点的时候体温刚好 37 度，3 点的时候又回到 37 度。按常理，中间经过 36.9 就有点可疑，要么 37.1。但要是你是在 48 小时表上晕头转向，比如 1 点是凌晨 1 点，3 点是早上 7 点，那这中间整整 6 个小时，你的体温可能一直在 37.2 浮动，别看没跌破 36 也根本没超过 38，彻底符合罗尔定理那种“终点等于起点”的死规矩。
这时候导数可能压根儿没有为 0，但你肯定知道中间肯定有温度最低的那一瞬间。 再看一个略微带点生活气息的例子。假设你在操场上跑步，从起点 A 冲到 100 米处的终点 B，全程用了 2 分钟。
要是你在跑的过程中，中间某一下撞到了树，摔了一下，然后突然又持续跑，哪怕你中间摔得再惨，只要最终回到 A 的位置，那刚刚那一瞬间的加速度或速度，肯定得跟后来那个加速度或速度一样，否则你就不可能是同一条起跑线的人。
这说明啥？说明中间那个“撞树”的时刻，别看让你痛苦不堪，但从能量守恒和运动规律来看，它绝对知足某种平衡状态。 不过，咱们也别急着把“导数不为 0"当成万能药。有些函数，导数确实一辈子是正的，哪怕你从 0 跑到了 100。
比如指数函数要么对数函数的某些分支，它们要么一直往右爬，要么一直往左爬，根本停不下来。
这时候要是你硬要找导数为 0 的点，那就像你在空荡荡的走廊里找一位从未进过的住客，除了对方说“我没来过”，恐怕你也找不着了。 这就把罗尔定理的“坑”给填上了：它不是说务必找导数为 0 的点，而是说既然终点等于起点，那中间肯定有某个时刻，导数的“变化率”等于 0，要么导数本身处于一个特殊的平衡状态。
这个“特别的平衡状态”，不一定就是导数严格等于 0，可能是导数连续，但变化了；也可能是导数不存有（尖点），但左右极限相同。 比如你坐上了一辆匀速上升的电梯，从 1 楼跑到 100 楼。电梯的速度矢量是恒定的，加速度恒为 0。
这时候导数是常数，自然不为 0（要不就你定义的速度是 0）。
可是，要是电梯启动时加速，然后匀速，最终刹车，那么在这个过程中，速度、加速度、就连加速度对速度的变化率，这些导数量里，肯定会有好几个为 0 的时刻。
比如启动时速度从 0 变到某个值，加速度就是 0；刹车时速度从某值变回 0，加速度又是 0。
这时候导数等于 0 的点贼明确，且数量不少。 可是，罗尔定理最了得的地方在于，它准你跳出“导数务必为 0"的这个框框。
你看那个著名的四点函数 $f(x) = x^3 cos(frac{1}{x}) + x$。
这个函数在 $x=0$ 处，由右导数计算出来是 1，由左导数计算出来是 -1。
这两个极限不一样，故此 $f'(0)$ 根本不存有。函数在 0 处有个尖刺，像个悬崖。
要是你拿这个函数去套罗尔定理，出于 $f'(0)$ 根本不算导数，故此罗尔定理直接失效了。
这就像你走在悬崖边上，上面是 300 米的山峰，下面是 -100 米的深渊，中间既没有平缓的山坡，也没有垂直的悬崖，只有那种让你瞬间神经麻痹的“边缘”。
这时候你根本没法说“导数为 0"，出于根本没有“导数”这个概念，更谈不上 0 了。 故此，别被那些死板的公式吓退。罗尔定理告诉你的是：只要一段路你起点终点一样，中间那一段你就得经历某种“临界状态”。
这个临界状态，可能是速度为 0，可能是加速度为 0，也可能是变化率为 0。它不要求你找到一个导数严格等于 0 的点，它要求的是你的函数图像，在纵轴方向上，起码得有一个点，它“不想变”要么“正在变但变慢”到刚好停住。 这就好比你在超市买东西，你手里拿着 100 元。你在货架前转了一圈，最终又回到 100 元。
这时候，你肯定是在某个货架前停下过，要么刚买完东西转身，要么犹豫一下翻找回来。你肯定在那一瞬间，你的“花速度”要么“决策速度”等于 0。
哪怕这个瞬间的“决策速度”是无穷大（比如你瞬间买了一堆东西），要么干脆是 0（你啥都没买）。罗尔定理就是那个判官，它不管具体得出了多离谱的结论，只要知足“起点终点相等”这个铁律，中间那个“速度等于 0"的结论就是成立的。 故此，下次遇到罗尔定理，别急着列导数。先看看是不是起点终点一样。
要是一样，那放屁，中间肯定有个“速度为 0"要么“变化率为 0"的时刻。至于那个时刻具体是个啥函数值，要么直接是 0，要么干脆是个个位数，反正那个“变化率为 0"的结论是稳的。别纠结那些极限不相等的特例，那是函数本身“长”出来的怪毛病，不是罗尔定理的错。 总而言之，罗尔定理不是让你去挖宝藏，它是给你指路。指的路挺好办：起点终点相同，中间肯定有人“停一下”，要么“缓一步”。别去纠结那个“停一下”的具体表现，罗尔定理自己会告诉你，那个表现就是导数为 0 要么导数不存有，反正那个“变化率为 0"是铁律。
这就够了，这就够了，这就够了。