塞瓦定理-塞瓦定理描述

塞瓦定理这东西，可真不是那些死记硬背就能搞懂的数学题。拿到一张三角形纸片，塞瓦线得是三条线往死里挤，最终务必交于一点，否则这图就坏了，自然，也好，说明这题本身就有难题。 说起塞瓦，最早实际上是用来救急的。
那时候农学家得画土壤的分布图，得画玉米的籽粒，要么画蜜蜂在花上的活动路线。
这些人都是搞“赛瓦图”的，他们为了说明那些复杂的生活现象，需求这种尤实际上用的几何工具。
后来数学家认定这忒土了，便把它搬上了舞台，但搬上来之后，却发现这东西忒好用忒有趣了，以至于有些老师认定“这玩意儿真不适合上课”，结局塞瓦定理就成了数学界的“野孩子”，到处乱跑，成了大量学生考试时不得不拿出来救命的法宝。 塞瓦定理这事儿，最直观的表现为三条线，它们就像三条腿，硬是把三角形给抱住了。你得顺着这三条线往上看，总能看到个交点，这交点就尊重这三条线。
要是这三条线碰了头，那这三角形就是个死三角，没法解题。
要是这三条线围住了一个点，那这事儿就成立了。 举例来说，画个三角形 ABC。 画第一条线，从顶点 A 出发，穿过对边 BC 上的一点 D，一直延伸到对面的另一条边。 画第二条线，从顶点 B 出发，穿过对边 AC 上的一点 E，一直延伸到对面的另一条边。 画第三条线，从顶点 C 出发，穿过对边 AB 上的一点 F，一直延伸到对面的另一条边。 这三条线要是能交于一点，这叫“塞瓦共点”。
要是它们不能交于一点，那这三角形就是个“坏三角形”，无法构成塞瓦定理的模型。 那要是三条线能交于一点，那这交点 P 得在哪？是个真分点吗？不是，这是个调和点列。
这意味着，线上的段长是成比例的，比如 $frac{AP}{PB} cdot frac{BP}{PC} cdot frac{CP}{PA} = 1$。
你看，这公式看着像废话，但实际上蕴含着庞大的几何意义。 举个数据算一算，假设三角形 ABC 的面积是 100。A 点到底边 BC 的高是 4，B 点到底边 AC 的高是 5，C 点到底边 AB 的高是 6。
那三角形 ABC 的面积就是 $frac{1}{2} cdot 4 cdot 5 cdot 6 = 60$。
什么的，面积算出来是 60，那高算出来是 4、5、6，那面积应当是 60。
要是高是 4、5、6，那面积就是 60。
要是面积是 100，那高得是 $sqrt{frac{200}{6}} approx 5.77$。
总而言之，这些数据得配合着塞瓦线一起看，否则好办晕。 塞瓦定理还有个有趣的变种，叫梅涅劳斯定理。
这两个定理实际上是双胞胎兄弟，长得差不多，脾气也差不多。梅涅劳斯定理是给三角形三边取一个点，然后看三条线，这三条线要么交于一点，要么围成一个三角形。而塞瓦定理是给三角形三边取一个点，然后看三条线，这三条线要么交于一点，要么围成一个三角形。它们俩的区别在于，梅涅劳斯定理是线线相交，塞瓦定理是线线共点。 实际上保罗·塞瓦（Paul Sawyer Cayley）当年写这个定理的时候，心情挺复杂的。他是个数学家，也是个诗人。他发现，这个定理别看看起来好办，但背后的逻辑挺绕。从几何上看，它是个比例难题；从代数上看，它是个方程求解难题。从拓扑上看，它是个空间结构难题。它把一个三角形变成了一个封闭的环，这三条线是构成这个环的三条弦。
这三条弦，要么在一点汇合，要么在某个三角形里围起来。 有时候你会发现，这个定理在证明过程中，时常会被用来证明其他定理。
比方说，它被用来证明三角形面积公式，被用来证明三角形的高线共点，就连被用来证明圆的内接四边形对角线互相平分。它的用处大到离谱，大到有些老师认定它“忒超纲了”，有些学生认定它“忒难了”。 不过话说回来，塞瓦定理这东西，真就是带不动。它不需求复杂的计算工具，不需求大量的代数运算，只需求你有一双眼，能看出这三条线到底能不能交在一起。它就像一把钥匙，别看看起来挺小，但一转就能打开大量数学的门。 最终再啰嗦一句，要是这三条线确实交于一点，那你得知道，这个交点 P 在三角形的哪一边。是靠近顶点 A 还是靠近边 BC？这得看具体的比例关系。
要是比例关系凑巧，交点可能在三角形内部；要是比例关系反了，交点可能在三角形外部。
这差异，往往拍板了这道题能不能做出来，能不能套公式。 总而言之，塞瓦定理这事儿，就把它当成一条线，一条从顶点出发，穿过对边，再穿过另一边的线。
只要它存有，那这条线就是一条合法的塞瓦线。
要是它不存有，那这条线就是个非法的塞瓦线。就是如此好办，就是如此直接。