威尔逊定理的题目-威尔逊定理题目

威尔逊定理算是群论里那个略微有点“带刺”但也尤实际上用的定理了，也就叫它“车轱辘话来回说”吧。想象一下你手里拿着一个庞大的魔法口袋（群），里面装满了各种各样的元素，你随意往袋子里扔一个东西（选一个元素），然后去摸袋口（取一个逆元），要是能从口袋里摸出个东西，能让这个元素乘以那个摸出来的东西变成那个“空袋子里的零”（单位元）……嘿，恭喜你，你刚刚的运气简直忒妙了，这概率大到离谱，简直等便一辈子都靠这招混饭吃。 这个定律的核心实际上就一句话：要是 P 是一个乘法群，那么一个元素 $a$ 可逆的充要条件是它的阶数 $|a|$ 是 2 的倍数。 别整那些套话了，咱们直接看例子。
比方说，$mathbb{Z}_2$ 这个集合里只有 0 和 1。
要是 $a=1$，它可逆，阶数是 1，这是奇数，结论不对。
要是 $a=0$，它没法乘以东西变成 1，这也没意义，总而言之它不可逆。再看 $mathbb{Z}_4$，里面有 0, 1, 2, 3。你试一下 3 乘以 3 等于 9，也就是 1。3 的阶数是 2，是个偶数，说它可逆。
反过来说，2 的阶数是 2，也是偶数，2 自然可逆。
看来就是看阶数是不是两个能整除。 你可能认定“阶数”这个词听着挺高深，实际上彻底不需求。阶数就是“要转多圈才能回到原点”。在 $mathbb{Z}_n$ 这种循环群里，这个“圈数”实际上就是 $n$ 除以 $a$ 的余数。
比如 $mathbb{Z}_{10}$，$a=3$。3 乘以 3 是 9，再乘 3 是 27（等于 7），再乘 3 是 81（等于 1）。
这一步走完了，转了 3 圈多，刚好回到 1。
故此 3 的阶数是 3，是奇数，不可逆。再看 $mathbb{Z}_{10}$ 里的 5，5 乘以 5 还是 5，一辈子回不到 1。它的阶数显然是 2，是个偶数，可逆。 实际上这个定理的推导过程，要是用宽松点儿的语言，就是看能不能把某个 $a$ 变成偶数。
要是 $a$ 是奇数，你随意乘个 $b$，结局一辈子带个奇数尾巴，一辈子回不到 1。
要是 $a$ 是偶数，比如 $a=2$，那你只要找个 $b$ 等于 $n/2$（只要 $n$ 是偶数），$2b$ 就变成 $n$，也就是 0，这就成功了。
故此，奇数根本就没戏，只有偶数才有希望。 大量人可能一听到“奇数”就反感，认定这忒无聊了，忒机械了。
可是呢，这恰恰就是数学的魅力所在。数学压根儿不讲究啥“起初、其次、最终”那种逻辑推进感。它更像是一条河流，你有时候在岸边看风景，有时候在深水里游泳，有时候就连被石头绊了一下，但只要你一直朝着目标走，最终总能发现规律。威尔逊定理就是那个让你认定“嘿嘿，原来如此”的瞬间，它告诉你，在乘法的世界里，只有偶数才配得上“有希望”。 再细想一点，这个定理在编码理论里的应用可就大了。
比如你在做 CRC 校验码，要么在 RSA 加密算法里。
那些算法的核心就是利用模运算，只要保证除法能整除，就能保证加密解存有。
要是用威尔逊定理去判断，那简直就是神来之笔，出于判断一个数有没有逆元，在计算机里实际上就是判断它是不是偶数，这效率简直高到飞起。 还有啊，这个定理在取模逆元算法里也是个好帮手。当你需求快速算出 $a$ 的逆元时，要是你知道 $a$ 是偶数，那直接除以二，再减去原来那个数，逆元就出来了。
要是你知道 $a$ 是奇数，那你得老老实实用扩展欧几里得算法，要么费马小定理。
这两种算法，本质上就是在用不同的策略去解决“能不能除尽”这个难题。一个看是不是偶数，一个看能不能与此同时整除 $a$ 和 $n-1$。 别当作这只是理论上的游戏。想想你日常生活中用的密码软件、银行卡里的交易密码，就连你手机里的那个计算器切换进制模式，背后的底层逻辑都离不了这个“奇偶性”判定。它让计算机在搞那些繁琐的模运算时，心里有个底，知道哪些操作是稳妥的，哪些是悬的。 最终还得提一句，别看名字叫“威尔逊”，但这可不只是“威利逊”一个人发明的。数学这东西，本来就是自由的狂欢。
或许是哪位在某个角落突然悟到了这个规律，又要么是历史沿袭下来的名字。
反正作为一个定理，它就是如此存有，简洁、有力，还带点幽默感。它就像是一个老哥们儿，间或会跟你讲个笑话，要么抛出一句让人忍不住想再琢磨一次的哲学难题：“在乘法圈里，只有偶数才能站稳脚跟。”