利用勾股数的整除性质与代数逻辑
这是最稳妥、最基础的证明思路。我们假设三角形 ABC 是直角三角形，但不知道哪个角是直角。这时候我们能够拿它去套直角三角形的公式。
证明步骤演示：
1. 假设 a² + b² = c²。
2. 构造一个直角三角形 A'B'C'，使其两直角边分别为 a 和 b。
3. 根据勾股定理，其斜边 c' 满足 (c')² = a² + b²。
4. 结合已知条件 a² + b² = c²，可得 (c')² = c²。
5. 因为边长为正数，所以 c' = c。
6. 根据“边边边”（SSS）全等判定，原三角形 ABC 与构造的直角三角形 A'B'C' 全等。
7. 因此，原三角形 ABC 必为直角三角形。
起初，得确认三边关系。要是 a²+b²=c²，那它就是直角三角形，且直角对着最长边。要是反过来，三边长度知足 a²+c²=b²，那它也一定是直角三角形，只是刚刚那个直角是在边长 b 对应的顶点。这里有个细节要注意，就是边长得是整数，要么能化成整数倍。
几何构造法：补角与旋转的艺术
这种方法更直观，也更具几何美感。假设在 △ABC 中，∠C 不是直角。我们在 BC 边上截取一点 D，使得 CD = BC。然后在 BC 的另一侧，以 C 为圆心，AC 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 E。
这样我们就拿到了一个等腰三角形 △BCD（出于 CB=CD）和一个全等的等腰三角形 △ACE（出于 AC=CE）。目前我们在 AC 上截取一段 AF，使得 AF = CD。出于 DC = CB，故此 AF = CB。
实际上不用那么复杂。咱们就用最好办的办法。把 ∠C 分成 α 和 β。那么 △ACD 中，∠C = α，△BCE 中，∠C = β。要是我们构造一个平行四边形，要么把两边拼起来，会发现斜边长度是 c，直角边分别是 a 和 b。
具体来说，在 △CDE 中，tan(∠DCE) = a/b。在 △CFG 中，tan(∠GCF) = a/b。这两个角要么相等，要么互补。要是 ∠C = ∠DCE，那 ∠EFG 就得补足到 90°。通过一系列的角度代换（∠DCE + ∠GCF + ∠C = 90°），我们会发现 ∠DCE + ∠GCF = 90°。这意味着 ∠GCF 务必是 90°。故此 ∠C₂ = 90°，也就是 ∠C 本身务必是直角。