原函数存在定理是什么-原函数存在定理

原函数存有定理：不存有的直觉 别被教材里的“存有”和“连续”这两个词绕晕了。在日常语言里，要是说“原函数存有”，听起来像是个天方夜谭，仿佛只要函数是连续的，要么哪怕只是简直处处连续，就一定有原函数。但现实可不是这样。举个极端例子，要是 $f(x) = 1/x$，在 $x=0$ 处根本没定义，那它自然没有原函数；要是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是断崖式下跌，就连无穷大，那更是断崖式断路。
故此，原函数存有的充分条件，往往是一个连类函数都能覆盖的好办事实。 要理解这个定理，先要彻底忘掉“连续函数必有原函数”这个常见的毛病直觉。别看这个直觉在大量时候挺有用，但在数学逻辑上，它一旦成立，就自动意味着“连续函数必有原函数”。
反之，若承认后者，就务必承认前者。
既然后者是显然成立的（哪怕函数在一点不连续，只要是一点间断，就能补上原函数使得它连续且单调），那么原函数存有的必要条件，自然就包含原函数务必在区间上连续。 这里有个贼反直觉但至关关键的细节：区间上的连续性，并不意味着“处处连续”。它只要求函数在区间内的每一个点上，左右极限都存有且相等，并且函数值等于这个极限。
要是函数在某一点存有跳跃间断点，比如 $f(0)=sin(1/x)$ 在 $x=0$ 附近的震荡，它在这个点不连续。但这不影响原函数存有。你只需求在 $x=0$ 这个点上填一个定义，比如 $f(0)=0$，整个函数就变成连续的（除了 $x=0$ 那个点，但它只是一个点）。 什么的，这里有个庞大的陷阱。
要是原函数定义在某一点，那么原函数在这一点左侧和右侧的极值取决于原函数的值。
要是原函数在原点不可导，它有没有原函数（原函数可导）？显然有。但要是原函数在区间上不可导，比如 $f(x) = |x|$，它在 $x=0$ 处不可导。但我们仍然能够构造一个原函数 $g(x) = frac{1}{3}x^3$，它在整个实数轴上处处可导。
故此，原函数存有定理的核心在于：只要函数在区间上连续，那么原函数一定存有。
要是函数在区间上不连续，原函数依然存有，但题目问的是“原函数存有”，这里的语境一般暗指“原函数是一个连续函数”要么“原函数在区间上连续”。
要是题目只是问“是否有原函数”，那么连续性不是必要条件。我们聊聊的是原函数本身的性质，即原函数在区间上连续。 回到定理本身，我们能够把它拆解为两个局部：一是函数的性质，二是原函数的性质。前者是函数本身务必知足啥条件，后者是原函数务必知足啥条件。前者是“在区间 $I$ 上连续”，后者是“在区间 $I$ 上连续”。当这些条件与此同时知足时，原函数不仅存有，并且它在区间 $I$ 上是处处可导的。 这就解释了为啥在微积分里，我们时常说“原函数存有”。当我们画出一条连续曲线，并在它下方找一条曲线，使得导数等于它，那这条曲线就是原函数。
这条曲线是光滑的、连续的。
要是原来的曲线在某处有尖点或跳跃，我们就需求把这两段重新拼接，让它们在拼接点处光滑过渡，进而拿到一个全局连续的函数。
这个新函数就是原函数，它在整个区间上都是连续的。 那要是原函数本身不连续呢？比如 $f(x) = 1$ 当 $x>0$， $f(x)=0$ 当 $x le 0$。
这个函数在原点处不连续。我们依然能够找到一个原函数。
这个原函数是 $g(x) = x$。$g(x)$ 在整个实数轴上都是连续的。
故此，原函数存有定理告诉我们，原函数存有的一个关键性质是：原函数在区间上务必是连续的。 为了更直观地理解，我们能够看看区间 $[0, 1]$。我们要找一个函数 $g$，使得 $g'(x) = f(x)$ 对于所有 $x in (0, 1)$ 成立，且 $g$ 在 $[0, 1]$ 上连续。
要是 $f(x)$ 在 $(0, 1)$ 上是连续的，那 $g(x)$ 自然也是连续的。但要是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有一个跳跃，那么 $g(x)$ 在 $x_0$ 处也务必有一个跳跃吗？不，跳跃是能够被“平滑”掉的。
要是 $g(x)$ 在 $x_0$ 处有跳跃，那么 $g'(x)$ 在 $x_0$ 处就不一定存有。
故此，为了让原函数在区间上连续，原函数在区间上务必是连续的（除了那些被“填补”上的间断点，但填补后原函数整体是连续的）。 举个例子，寻思函数 $f(x) = sin(1/x)$ 在 $(0, 1]$ 上。
这个函数在 $x=0$ 处没有定义，故此在 $[0, 1]$ 上不是处处连续的。但我们能够在 $x=0$ 处定义 $f(0)=0$。
这样修改后的函数在 $[0, 1]$ 上是连续的。根据原函数存有定理，存有一个函数 $G(x)$，使得 $G'(x) = f(x)$ 对于 $x in (0, 1)$ 成立，且 $G(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。 再举个数据例子。假设 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上。
这是一个连续函数。它的原函数是 $F(x) = x^3/3$。
这是一个贼标准的例子，数值计算彻底确定无疑。目前假设 $f(x)$ 在 $x=0.5$ 处有一个尖点，比如 $f(x) = |x|$。
这个函数在 $[0, 1]$ 上也不是处处连续的。但我们能够找一个原函数 $G(x)$，使得 $G'(x) = |x|$ 在 $(0, 1)$ 上。
这个 $G(x)$ 在 $[0, 1]$ 上也是连续的。
故此，就算原函数在区间上不连续，原函数依然存有，并且原函数在区间上连续。 这就引出了原函数存有定理的一个严重推论：原函数存有，且原函数在区间上连续，是一个充分条件。
也就是说，只要函数在区间上连续，原函数一定存有，并且这个原函数在区间上也是连续的。
要是函数在区间上不连续（哪怕只是一个点），原函数依然存有，但原函数是否保持连续性取决于原函数的具体形式。 最终，我们总结一下。原函数存有定理并没有告诉我们啥是原函数的必要条件，它主要给出了一个充分条件：区间上的连续性。它告诉我们，要是你看到一个连续函数，你立马就能够说“啊，这个函数有原函数了”，并且这个原函数在区间上也是连续的。
要是函数在区间上有一个尖点，原函数依然存有，但原函数本身可能在尖点处不可导，要么原函数需求在这个尖点上被重新定义才能变得连续。但甭管如何，只要函数在区间上连续，原函数就一定能构造出来。
这就是原函数存有定理最根本的核心内容：连续性是原函数存有的充分条件，也是原函数（作为连续函数）存有的关键性质。