项式定理PPT课件-二项式定理课件 · 全网优质教学资源库

$binom{n}{k} = binom{n}{n-k}$

例：$binom{6}{2} = binom{6}{4} = 15$

$binom{n}{k} = binom{n-1}{k-1} + binom{n-1}{k}$

即杨辉三角的构造原理

$sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} = 2^n$

例：$(1+1)^5 = 32 = 1+5+10+10+5+1$

奇数项系数和 = 偶数项系数和 = $2^{n-1}$（当 $n geq 1$）

推导：令 $a=1, b=-1$ 得 $sum_{k=0}^{n} (-1)^k binom{n}{k} = 0$

解：$T_4 = T_{3+1} = binom{6}{3} (2x)^{3} left(-frac{1}{sqrt{x}}right)^3$

$= 20 cdot 8x^3 cdot left(-frac{1}{x^{3/2}}right) = -160x^{3/2}$

解：通项 $T_{k+1} = binom{10}{k} x^k$，令 $k=3$

系数为 $binom{10}{3} = frac{10 times 9 times 8}{3 times 2 times 1} = 120$

解题步骤：

1. 令 $x=1$：$(2-3)^5 = -1 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ ①
2. 令 $x=-1$：$(-2-3)^5 = -3125 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$ ②
3. - ②：$-1 - (-3125) = 2(a_1 + a_3 + a_5)$
4. 得：$a_1 + a_3 + a_5 = frac{3124}{2} = 1562$

答案：1562

解题思路：

• $(1+x)^n$ 中 $x^3$ 的系数为 $binom{n}{3}$（$n geq 3$）
• 总系数 = $binom{3}{3} + binom{4}{3} + cdots + binom{10}{3}$
• 利用组合恒等式：$sum_{k=3}^{10} binom{k}{3} = binom{11}{4} = 330$

答案：330

常规思路：比较相邻项系数比 $frac{a_{k+1}}{a_k} = frac{binom{2024}{k}(-2)^k}{binom{2024}{k-1}(-2)^{k-1}} = frac{2024-k+1}{k} cdot (-2)$

聪明解法：

• 注意：所有奇数项系数为负，只需考虑偶数项
• 令 $k=2m$，系数为 $binom{2024}{2m} cdot 2^{2m} = binom{2024}{2m} cdot 4^m$
• 比较 $frac{a_{m+1}}{a_m} = frac{binom{2024}{2m+2} cdot 4^{m+1}}{binom{2024}{2m} cdot 4^m} = frac{(2024-2m)(2023-2m)}{(2m+2)(2m+1)} cdot 4$
• 令比值≥1，解得 $m leq frac{2021}{4} approx 505.25$
• 故最大项在 $m=505$ 或 $506$，即第 $1011$ 或 $1013$ 项

答案：第1011项或第1013项

• • 求系数和 → 赋值法（$x=1$, $x=-1$）
• • 求特定项 → 通项公式+指数方程
• • 求最大系数 → 比较相邻项比值
• • 多项和展开 → 分别求再相加
• • 含负号项 → 分奇偶讨论

广义二项式定理（$|x|<1$）：

$(1+x)^r = sum_{k=0}^{infty} binom{r}{k} x^k = 1 + rx + frac{r(r-1)}{2!}x^2 + frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3 + cdots$

其中 $binom{r}{k} = frac{r(r-1)cdots(r-k+1)}{k!}$

def binomial(n, k):
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    # 利用对称性优化
    k = min(k, n - k)
    result = 1
    for i in range(k):
        result = result  (n - i) // (i + 1)
    return result
# 示例
print(binomial(10, 3))  # 输出: 120
print(binomial(100, 5)) # 输出: 75287520