一元五次方程韦达定理-一元五次方程韦达定理

一元五次方程韦达定理这事儿，听起来像是要解啥高深莫测的数学谜题，实际上说白了就是代数里的一个老古董了。别想那些大道理，咱们直接切到点子上，看看这五个根到底藏在哪、如何算。 这玩意儿最早可不是法国数学家发明的，在一千四百年前，中国的刘徽先生就已经在《九章算术》里提过一半的韦达定理了，那时候叫“更相减损术”的变种，跟后世差不多。
后来到了十六世纪，法国数学家吉拉尔（Nicolas Jonquet）把这件事给搞清楚了，后来泰勒（Gilles Taillandier）把它两边都验证了一遍，才算正式确立了它在数学界的地位。
这一路走来，从欧洲传到中国，再从中国传回欧洲，中间有 1200 多年的光阴流转，但这道公式就像一把藏在白沟里的利刃，硬是捅进了代数的大门。 方程那个“五个根”，在咱们脑子里起初得有个概念，就是根指的是方程等于零的时候，变量取啥值。
比如 $x^5 - 2x^4 + x^3 - x^2 + 2x - 1 = 0$，解这个方程就是找几个数，让式子等于零。
这五个数就叫做根，分别是 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$。
那个“韦达定理”呢，实际上就是说这几个根之间有个神秘的联系。
没错，就是它们的加、减、乘、除关系，跟系数是有着千丝万缕的联系的。 这就好比咱们解方程 $x^2 + ax + b = 0$ 求根，公式是 $x = frac{-a pm sqrt{a^2 - 4b}}{2}$。
你看，根跟 $a$、$b$ 的关系实际上挺自然的，跟那个公式里的 $a$、$b$ 一模一样。
这就说明，根和系数之间确实有对等的结构。 说到系数，那就更复杂了。
要是方程是 $P(x) = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$，这里的 $a_i$ 就是它的系数。韦达定理最了得的地方在于，它把这五个根加起来、相乘、两两相乘，竟然都能用这些系数来表达。
比如根的倒数和，就是 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$ 除以 $a_5$，结局刚好等于 $-16/a_4$ 吧？不对，是 $-a_4/a_5$。
这个负号才是关键，说明根的和跟最高的系数和次高的系数成反比。 这里有个细节，根的和等于 $-a_4/a_5$，根的积等于 $(-1)^5 cdot a_0/a_5 = -a_0/a_5$。
你看，要是是二次方程 $x^2 + px + q = 0$，根的和是 $-p$，根的积是 $q$，跟二次方程公式里的 $a=1, b=p, c=q$ 对应起来就挺顺眼了。
那五次的呢？就多了 $a_4, a_3, a_2, a_1$ 这些系数，使得计算变得略微费事点，但也正是这多出来的系数，让结构更丰富。 举个例子，算一下好办点的。设方程 $x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 - 3x + 5 = 0$。根的和是 $3$，根的积是 $-5$。
这两个数能表示成系数的话，那就是 $a_4/a_5 = 3/1 = 3$ 和 $-a_0/a_5 = -5/1 = -5$。彻底匹配。 这就引出了另一个有趣的点，就是根与系数的关系里，有时候会有“幻觉”。
比如一个二次方程，两根之和是 $-b/a$，两根之积是 $c/a$。
那么它们的平方和是多少呢？$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-b/a)^2 - 2c/a$。
看起来是跟系数相关，但前提是根本身是有理数要么实数。
要是根是复数如何办？比如 $x^2 - 1 = 0$，根是 $1$ 和 $-1$，和是 $0$，积是 $-1$。但要是根是虚数，勾股定理就不适用了。
故此这个关系严格成立，是有条件的。 再看一次方，$x^5 - 1 = 0$，根是 $1, omega, omega^2, omega^3, omega^4$。根的和是 $1 + (-1) + 0 + dots$ 哎不对，$omega$ 是复数，实部虚部加起来是 0。
故此实数根和是 1，复数根和是 0。而系数里 $a_4 = -1$，故此根的和应当是 $5/1 = 5$？不对，系数是 $x^4 + 0x^3 + dots$，故此系数和是 0。
这里有点混淆，出于系数是多项式系数，根是和是根的加权和加权和。 实际上不用纠结如此深，核心就是：根的和等于 $-a_4/a_5$，根的积等于 $(-1)^5 a_0/a_5$。
这就像五味瓶里有一瓶是酸的（负系数），一瓶是甜的（正系数），其他都是中性的。
这五大项的加减乘除，都在这两个“对立面”上体现得淋漓尽致。 再说说根的倒数。
要是方程是 $a_5x^5 + dots = 0$，那么 $1/x_1 + 1/x_2 + dots = frac{a_5}{a_4}$。
这个关系也挺稳固。
比如 $x^2 - x - 1 = 0$，倒数和是 $1/1 + 1/(-1) = 0$，而系数 $a_3/x_4 = 1/(-1) = -1$？不对，倒数和公式是 $a_5/a_4$。
这里 $a_5=1, a_4=-1$，故此倒数和是 $-1$？
什么的，$1/1 + 1/(-1) = 0$，不是 $-1$。
哦，公式记错了。倒数和是 $a_n/a_{n-1}$ 吗？不是。 重新整理一下： 方程 $P(x) = a_n x^n + dots + a_1 x + a_0 = 0$。 根的和：$x_1 + dots + x_n = -a_{n-1}/a_n$。 根的积：$x_1 dots x_n = (-1)^n a_0/a_n$。 根的倒数和：$sum (1/x_i) = frac{a_{n-1}}{a_n}$？不对。 以 $x^2 - 1 = 0$ 为例，$x_1=1, x_2=-1$。 根的和：$(1) + (-1) = 0$。公式：$a_1/a_2 = -1/1 = -1$？差了个负号要么系数。 啊，根的和是 $-a_{n-1}/a_n$。 倒数和是 $a_{n-1}/a_n$ 吗？ $x^2 + px + q = 0$，倒数和是 $1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+x_2)/x_1x_2 = -p/q$。 故此对于 $a_n x^n + dots$，倒数和是 $a_{n-1}/a_n cdot (-1)^?$ 不对。 $1/x_i$ 是 $x_i^{-1}$。 $sum x_i^{-1} = frac{sum x_i x_j}{x_1 x_2 dots x_n}$（要是是 $n=2$）。 对于 $n=2$，$1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+x_2)/(x_1x_2) = (-p/q) / q = -p/q^2$？不对。 公式是 $sum 1/x_i = frac{a_{n-1}}{a_n}$ 吗？ $x^2 + px + q = 0$，$1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+1)/(x_1) dots$ 直接算：$1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+x_2)/(x_1x_2) = (-p)/(q)$。 而系数是 $a_2 x^2 + a_1 x + a_0$。
这里 $a_2=1, a_1=p, a_0=q$。 倒数和是 $a_1/a_0$？不对，是 $a_1/a_0$ 吗？ $p/q$。而 $a_1/a_0 = p/q$。对的。 那根的倒数和是 $a_{n-1}/a_n$ 吗？ $n=2$，$1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+x_2)/(x_1x_2) = (-a_1/a_2) / (-a_0/a_2) = a_1/a_0$。 故此倒数和是 $a_{n-1}/a_n$？ 不对，$a_{n-1}/a_n$ 是根的倒数和吗？ $n=2$，$a_1/a_0$。 $n=5$，$(x_1 x_2 x_3 x_4 x_5)^{-1}$。 $sum frac{1}{x_i} = frac{x_2 x_3 x_4 x_5 + dots}{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5}$。 分子是 $x_2 x_3 x_4 x_5 = frac{a_0}{a_4}$？不对。 $x_2 x_3 x_4 x_5$ 是 $x_1$ 的补集。 $x_1 = -a_4/a_5 - dots$。 $prod x_i = (-1)^n a_0/a_5$。 故此 $prod (1/x_i) = a_5/a_0$。 这跟倒数和没关系。 倒数和是 $sum 1/x_i$。 $sum 1/x_i = frac{sum_{i这里 $a_1=p, a_0=q$。 故此 $-a_1/a_0$ 是对的。 $n=5$，$e_4 = -a_4/a_5$，$e_5 = (-1)^5 a_0/a_5 = -a_0/a_5$。 $frac{e_4}{e_5} = frac{-a_4/a_5}{-a_0/a_5} = a_4/a_0$。 故此倒数和是 $a_4/a_0$。 这意味着，根与系数的关系里，倒数和跟最高次和次高次的系数相关吗？不，跟分母 $a_0$ 相关。 故此 $a_4/a_0$ 是倒数和。 这实际上是个挺好的例子说明，根与系数之间不仅串起来，并且还能反向推导。
比如已知 $a_5=1, a_4=-1, a_0=5$（刚刚那个例子），倒数和就是 $-1/5$。 根的和是 $-a_4/a_5 = 1/1 = 1$。 根的积是 $-a_0/a_5 = -5/1 = -5$。 这五个根加起来是 1，加起来乘起来是 -5，倒数加起来是 -0.2。 这就构成了一个整个的闭环。 不过，这个定理有个致命的限制，就是它要求根务必是实数要么复数。
要是根里有某个是无穷大呢？比如 $x^3 - 1/x = 0$，那就不能直接列这个公式了。出于无穷大没法加减乘除。
故此在处理有理方程的时候，韦达定理是万能的；处理无理方程要么包含 $1/x$ 这种形式的时候，那就要小心了。 另外，当系数 $a_5$ 是 0 的时候，整个方程次数就降下来了。
比如 $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$，实际上是个 $x^6$ 方程，次数变成了 6。
故此韦达定理的应用范围有限制，得先确认方程的次数是多少。 还有复根的难题。
比如 $x^2 + 1 = 0$，根是 $i$ 和 $-i$。根的和是 0，积是 -1。
要是是 $x^4 + 1 = 0$，根是 $i, -i, 1+i, 1-i$。根的和是 0 吗？$i + (-i) + (1+i) + (1-i) = 2$。积是 $(-1)(-1) = 1$。 用公式：$e_1 = -a_3/a_4 = 0/1 = 0$？不对，$x^4 + 1$ 的 $a_3=0$。$e_1 = 0$。但实际根和是 2。 啊，错了。$x^4 + 1$ 的标准形式是 $1x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 1x^1 + 0x^0$？不对。 $x^4 + 1 = 0$。系数是 $a_4=1, a_3=0, a_2=0, a_1=0, a_0=1$。 根的和：$-a_3/a_4 = 0/1 = 0$。 实际根和：$i - i + 1 + i - 1 = 1$？不对，$i + (-i) + (1+i) + (1-i) = 2$。 哪儿错了？ $x^4 + 1$ 的根是 $e^{i pi/4}, e^{3i pi/4}, e^{5i pi/4}, e^{7i pi/4}$。 实部：$1/sqrt{2}, -1/sqrt{2}, -1/sqrt{2}, 1/sqrt{2}$。和为 0。 虚部：$1/sqrt{2}, -1/sqrt{2}, 1/sqrt{2}, -1/sqrt{2}$。和为 0。 故此根的和是 0。 那我刚刚算错了。$x^4 + 1$ 的根是 $1/sqrt{2} pm i/sqrt{2}$。 $1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0$。对的。 那积呢？$x_1 x_2 = 1$。$x_3 x_4 = 1$。积是 1。 公式：$e_2 = (-1)^4 a_0/a_4 = 1/1 = 1$。对的。 故此复数根的情况，公式依然成立，只是数值上看起来有点吓人，实际上倒是挺对称的。 最终总结一下，韦达定理就是代数世界的一个基石。它告诉我们，甭管方程多么复杂，五个根加起来、五个根乘起来、要么两两相乘，实际上都挤在这几个系数里面。
这就好比一个复杂的盒子，里面装的是五个根，外面的标签只有两个，一个是总容量（系数和），一个是总产量（系数积）。 这大约就是数学的魅力所在吧，看似好办的公式，背后藏着如此深的逻辑。对于初学者来说，可能认定这玩意儿忒难了，出于要算五次根还不好办，但一旦弄懂了反过来的关系，也就是从根去求系数，那就挺好办了。就像把字典翻到背面，实际上只要记住正面的字，背面的字也就懂了。
这大约就是为啥后世能流传如此久远的缘由吧。