所有定理都有逆定理吗-所有定理都有逆定理吗

有些定理就像是一棵树的根系，密密麻麻地扎在逻辑的土壤里。对你来说，它可能只是几行公式几句定义；对你爸或初中数学老师来说，那可能是压轴题里最让人抓狂的局部。我们常拿“逆命题”当个笑话讲，说“这个定理有逆吗？没有！”实际上不然，这就好比问“为啥热胀冷缩？”有没有逆命题？有的，那就是“冷缩热”。但这树本身，特别是那些集合论里的结构定理，它本身就没啥特别的“逆”可供采摘。 拿实数系里的零点定理说起吧。定义是：要是在闭区间上连续，又变号了，那肯定有根。
这是铁律，千锤百炼的。逆命题呢？换一下说法：要是哪位在区间里变号了，那它就在这区间里有个根？这听起来挺顺眼，但细想一下就好办露馅了。假设区间是 0 到 1，函数在 0.5 处是 1，在 1.0 处是 -1。
这确实变号了。但要是你让函数在 0.5 处是 -1，在 1.0 处是 1，那它还是变号了。
难道岂不是有根了？
什么的，只要中间那个点的值从正变负，中间就必然有个点等于 0。
故此逆命题只要“变号”这个条件够硬，结论“必有根”就站得住脚。
要不就……那个变号的点旁边还藏着别的极值点，把根给挤出去了。
比如那个经典的帐篷函数，两头高，中间低。知足变号条件，但中间那个低谷比两边都高，根就没了。
故此，零点定理的逆命题是成立的。它只是把“区间”换成了“驻点集”，把“连续”换成了“解析”。 再换个角度，比如勾股定理。$a^2 + b^2 = c^2$。逆定理就是：要是三个数 $a, b, c$ 知足勾股关系，那它们就构成直角三角形。
这玩意儿在初中就是“鸡肋”，小学也没人考。但在微积分里，那个连续介质力学里的材料力学公式，它的逆命题就挺关键了。假设某材料的弹性模量、剪切模量、泊松比知足那个特定的数值关系，那它的应力应变关系肯定符合胡克定律。
这玩意儿在工程抗震计算里是个大杀器。
有时候我们算不出应力，是出于公式的逆命题不成立，害得我们陷入逻辑死循环。
这时候，你得去查那个材料手册，看看它的 $E, G, nu$ 到底能不能凑出那个数。 实际上，大量定理的逆命题根本就不需求研究，出于它们压根就不存有“逆”的逻辑空间。
比如费马引理。
要是 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且存有 $c in (a, b)$ 使得 $-f'(c) = int_a^b (f(x) - f(c)) dx / (x-c)$，那它就是单调的。
这个定理的逆命题实际上就是：要是一个函数在区间上单调，并且知足上述积分等式，那它在区间上是否一定可导？答案是肯定的。但要是那个等式左边是个常数，右边是个怪的积分，那它就不成立。
故此，要是你的定理是“可导且知足积分等式”，那它的逆命题就是“知足积分等式且是常数，则可能不可导”。
这种“可能”就是逆命题最大的敌人。它让真理变得不清楚，让教科书式的确定性变成了概率游戏。 有些定理就连没有“逆命题”，出于它们本身就是定义本身。
比如素数。定义说“没有除 1 和它自己以外的因数”。
这已经是句号了。你问它的逆命题吗？“要是一个数除了 1 和它自己以外没有其他因数，那它就是素数？”这听起来仿佛一样。但细品一下，素数这个概念是建立在“自然数集”之上的。
要是自然数集被重新定义为“非合数”，那定理就废了。
故此，素数定理不存有逆定理，出于它本身就是定义。 还有比这更绝的呢，比如黎曼猜想。没人管它有没有逆，出于它本身就是一个命题，不是定义。它像是一个黑洞，望那会儿就是空的，伸手进去就是白茫茫一片。你问它有没有逆命题？
有没有？有的。
那就是“要是黎曼猜想成立，那么希尔伯特第 8 难题中的第 5 个猜想也成立”。
这忒荒谬了，但逻辑通顺。
为啥会有这个关系？出于黎曼猜想是第 8 题的充分条件。
要是 0.5 成立，0.5 也成立（自然）。
然后 0.5 成立，又推导出 0.6 成立，接着 0.7 成立，直到无穷大。
故此，黎曼猜想的逆命题就是“要是希尔伯特第 8 题的其他条件都成立，那黎曼猜想一定成立”。
这在逻辑上是成立的，但实际物理世界里，黎曼猜想是“真”的，而第 8 题的其它条件未必是“真”的。
故此说，黎曼猜想的逆命题成立，但它是假的。 这就回到了我们最关心的那个难题：所有的定理都有逆定理吗？答案是，没有。大量定理本身就是定义，没有“逆”可逆。有些定理是充分条件，有逆命题，但条件忒宽泛，害得结论忒宽泛，要么反之。有些定理只是逻辑链条中的一环，既然环断了，那逆命题自然就不存有。就像说“所有猫都会飞”，逆命题是“所有会飞的都是猫”。
这不成立。出于蝙蝠、鸟、飞机都能飞，但它们都不是猫。
故此“所有会飞的都是猫”这个逆命题是假的。但这不代表没有逆命题，它只是假的。 更深层的难题在于，大量定理是“单向”的。
比如阿基米德原理，是力等于密度乘体积乘重力加速度。它的逆命题是：要是力等于那个值，那它一定是那个物体受到的浮力。
这在物理世界里是成立的。但大量定理是建立在特定的公理体系下的。
比如皮亚诺公理，它是构建整个数学大厦的积木。你拿它倒过来倒，地基就塌了。
故此，你问“皮亚诺公理有逆定理吗？”没人说它有。它本身就是规则的起点。 再说说那些在学术界被视为“真理”的定理。
比如素数定理，它描述的是素数密度的渐近行为。它的逆命题是“要是素数密度不呈现某种特定趋势，那素数就不存有”。
这显然是错的。出于素数存有，素数密度就是那个趋向于 0 的函数。
故此逆命题是假的，但没有逆定理。它被数学界公认定“真”，但真和逆命题无涉。真只是对事实的描述，逆命题是对关系的描述。 故此，结论挺明确：不是所有定理都有逆定理。有些定理本身就是定义，没有逆；有些定理是充分条件，能够逆，但有时候是假的；有些定理只是逻辑链条的一环，断了就没了。数学的魅力不在于寻找逆定理，而在于理解这些定理为啥那么“硬”。它们硬是出于背后的公理体系，硬是出于逻辑的严密，硬是出于数值计算的验证。
要是你一定要找逆，那你得先搞清楚，这个定理到底在说啥，把它的边界理顺了。 最终，我们不妨拿几个具体的例子来收尾。
比方说，集合论里的幂集定理。$2^S$ 与 $P(S)$ 的基数关系。它的逆命题是：要是 $|P(S)| = 2^S$，那 $|S|$ 是多少？肯定是 $log_2(|P(S)|)$。
这忒好办了，小学生都能算。
故此幂集定理的逆命题成立，并且挺实用。再比如，微积分里的积分定义。$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。它的逆命题是：要是 $F(b) - F(a) = int_a^b (F'(x)) dx$，那 $F(x)$ 是否一定可积？这难题有点纠结。出于要是 $F'(x)$ 在区间上简直处处存有，那 $F$ 就一定可积。
故此逆命题成立。 再拿一个反例。
比如“要是两个向量不共线，那它们的叉积就不为零”。
这个逆命题是“要是两个向量不共线，那它们的叉积就不为零”。
这显然成立。但要是定义是“要是两个向量共线，那它们的叉积为零”，那它的逆命题就是“要是两个向量不共线，那它们的叉积不为零”。
这显然不成立。
故此，大量定理的逆命题存有，但真假难辨，彻底取决于你如何定义“共线”或“不共线”。 总的来说，数学定理的世界比想象中更复杂。有的定理是铁板一块，有的定理是活生生的逻辑体系，有的定理只是工具。寻找它们的逆定理，就像是在迷宫里找出口。有的出口在左边，有的出口在右边，有的就连根本不存有。但只要你肯花点工夫，把那个定理的“地基”弄清楚，答案自然就浮现出来了。
毕竟，数学最迷人的地方，往往不在于它证明白啥，而在于它证明白啥不可能。