动量定理公式推导-动量定理公式推导

库仑定律那规整划一的 $F = k frac{q_1 q_2}{r^2}$ 一看就是定积分堆出来的，到底是如何变成如此个“有劲儿”的公式的？在推导之前啊，咱们先把脑子里那些死记硬背的公式扔开。 力学里有个概念叫“冲量”，听起来有点抽象，实际上就是力给物体那个“推”的工夫。推得越久，物体状态转变得越彻底。
要是力是恒定的，那直接乘就行了：$J = F cdot Delta t$。但要是力是变化的呢？比如弹簧被压缩得越来越狠，要么磁铁靠近时磁力在变来变去？这时候微积分就派上用场了。想象一下，你要算一段路程的总油耗，不可能只乘平均油耗，得看每一千米的油耗加起来。
同理，力随工夫变化，总冲量就是力对工夫的积分，$J = int F dt$。
这个算式看起来挺长，但核心就两点：一是力会变，二是工夫也是变的，得把它们“叠在一起”加在一起。 接下来就是最让人头秃的局部——动量。动量 $p$ 是个矢量，既有大小又有方向。我们习惯把它写成 $p = mv$。当物体质量 $m$ 变，要么速度 $v$ 变，动量就变。等式两边都得求微分，得动量的微分 $dp$。
要是质量是常数，那直接是 $dp = m dv$；要是质量也在变，就得加个负号，$dp = m dv + v dm$。
这时候就需求质量随工夫的变化率 $v$ 了，最终凑成 $v$ 的形式。
这一步有时候会有误差，出于积分的时候得寻思初始状态和末状态的区别，要么常数项到底要不要消掉。 最终一步是把冲量和动量对应起来。
既然冲量是 $int F dt$，而动量变化也是 $int dp$，既然积分是互逆运算的，那这两个相等啊，直接相等就能证出来了。但这玩意儿有个坑，就是它是个矢量，涉及到方向。
要是力是常数，动量变化也是一条直线；要是力是变化的，动量变化可能是一条曲线。
只有在力恒定的情况，动量变化才和力成正比，比例系数就是质量。 让我们看看公式到底长啥样。把 $p = mv$ 代入，积分左边是 $int v dm$，右边是 $int v F dt$。两边除以 $v$，再积分，最终拿到的公式是 $F = frac{dp}{dt}$。
这就是牛顿第二定律的另一种说法。对于常数质量的情况，这就变成了 $F = m frac{dv}{dt}$，也就是质量乘以加速度。 为了看得更清楚，咱们拿一个具体的例子吧。
牛顿第一定律说，没力推，动量就不变。
那要是给个力推呢？假设一个 $2text{kg}$ 的箱子，原本静止，没受力。
突然有个外力功能了。力是恒定的，比如 $10text{N}$。功能工夫 $5text{s}$，动量就变了。咱们算算看，冲量 $J = F Delta t = 10text{N} times 5text{s} = 50text{N}cdottext{s}$。动量的变化量 $Delta p$ 也得等于 $50text{N}cdottext{s}$。出于动量是 $Delta p = m Delta v$，故此 $50 = 2 times Delta v$。动量增量是 $25text{kg}cdottext{m/s}$。
那速度从 $0$ 变到 $12.5text{m/s}$。
这下明白了，动量变化得比速度变化大，是出于质量一启动就在那儿了。 再换一种情况。质量变不可思议，比方说某种火箭。它每小时喷出 $100text{kg}$ 的废气，喷气速度是 $10text{m/s}$。火箭不变，速度也没变，质量在变，动量在变。
这时候 $F = frac{dp}{dt}$ 就得加上质量变化那项。假设喷气速度方向反了，那就是 $v dm$ 那项贡献了负值。
要是算出来 $F$ 是负的，说明推力方向跟预期反之。
这时候物理直觉可能跟公式打架，得回头看看是不是理解错了受力方向。 实际上啊，动量定理的本质就是 conservation of momentum 的体现。整个系统（包含地球、弹簧、木星）要是不受外力，总动量守恒。局部看，外力不为零，动量就不守恒。
可是外力做功和系统内能的变化也是联系在一起的。
比如弹簧，弹性势能转化成动能，动能又转化成弹簧的弹性势能，最终能量守恒。动量定理只是告诉你，在这个转化过程中，每一个瞬间力的积累等于动量的变化。 有时候会纠结于“平均力”和“瞬时力”的区别。
要是力是变力，用平均力算出来的冲量是准的，但实际受力时刻是在变化的。
这就好比开车加速器，平均加速度可能只算总位移，但这不代表每一秒都是这个加速度。动量定理不管力变不变，只要积分算对，结局就是一模一样的。 最终总结一下。从微分角度看，力是动量的工夫导数；从积分角度看，力对工夫的积分等于动量的变化。
这两个视角别看不同，但结局务必一致。在工程里，有时候用 $F = ma$ 就行，但在微观层面，要么涉及爆炸、碰撞的时候，务必用 $F = frac{dp}{dt}$。毕竟质量可能变，速度也可能变，这时候只写 $F=ma$ 可就不中了。 这就把那个原本让人望而却步的积分公式，给拉出来了。它不只是是一个数学推导，更是连接力和运动变化的桥梁。
只要记住 $dp/dt = F$，后面几十年的物理都要用到。