三角形外接圆定理-三角形外接圆定理

三角形的外接圆，也就是我们常说的“外心”，是三角形几何里最浪漫也最抽象的概念。它不像内心那样研究角平分线，也不像重心那样盯着中点，它独自在三角形的三个角中间，像个隐形的灯塔，把圆周给圈起来。
这个圆叫外圆，圆心叫外心，而圆周上的三个点就是三角形的顶点。你会发现，从三角形的每一个顶点出发，往里引一条线，一直画到对面的边上，这就叫高线。神奇的是，这三条高线在三角形内部终究会交于一点，这点到三边的距离刚好相等，它叫垂心。但这只是两个点，它们如何拼凑成圆了？ 要搞懂这个圆，你得先扔掉“直角”这个概念。直角三角形是个特例，它的斜边就是外接圆的直径，圆心正好在斜边的中点上。
这时候圆略微有点大，直径等于斜边的长度。
要是等腰直角三角形呢？两条直角边相等，那斜边肯定比它们长一倍。故另外圆的直径就是斜边的两倍。
这种直观的感受能直接帮你看懂特殊三角形，但一般/平平三角形就复杂多了，它不一定能直接套用直径公式。 一般/平平三角形的外心位置一般是“三不两清”的。
要是三角形是锐角的，外心就稳稳当当地在三角形内部，离三角形最远的那个顶点是直角，离最近的那个顶点是锐角。
要是有个角是钝角，外心就会跑到三角形外面去，死命往那一钻，离那个钝角顶点的距离反而变远了。
要是三角形要是个钝角，外心可能还会跑到三角形外面去，就连跑到对顶角的外面，这时候它离那个锐角顶点的距离反而变近了。
这种位置的不稳定感，是一般/平平三角形跟直角三角形最大的区别之一。 既然外心位置如此飘忽，它到底跟三角形的哪几条线有亲戚关系？实际上核心就一条：垂直平分线。外心是三条边的垂直平分线的交点。你能够把它想象成三个“法律委员会”的法官，他们各自在一条边的中点站岗，对着这条边画一条垂直线，三个委员会的线最终在三角形外心那里碰头。出于外心到这三个边的距离都相等，故此它肯定在每一个边的垂直平分线上。
反过来想，要是三条边的垂直平分线互相交于一点，那这个点就是外心。
这个定理把无形的交点变成了有形的线条，让外心的位置变得好找多了。 一般/平平三角形的外心位置挺可怕，出于它时常跑飞，就连跑到三角形外面去。
这种“跑飞”的现象，特别适合用来搞数学题。
比如已知一个三角形里有两个角是 60 度，那第三个角也是 60 度，这是个等边三角形。等边三角形的边长相等，垂直平分线也一定相等，故此三条垂直平分线长度一样，它们交出来的点肯定在中间，是个锐角三角形的外心。 再拿一个经典的例子：一个 90 度的三角形。它的斜边是直径，垂直平分线经过斜边中点，两条直角边的垂直平分线经过直角顶点。
这两条线肯定交于斜边中点附近，是个锐角三角形的外心。
要是有一个三角形的一个角是钝角，比如 120 度，那它的垂直平分线就会往左撇去，最终交点就会跑到 90 度那一边去了。
这时候，交点就跑到三角形外面去了，变成了一个钝角三角形的外心。 这种位置的不稳定性，有时候反而是解题的关键。
比如你要证一个四边形是正方形，要么证明某个点在外接圆圆上，你往往只需求管住好这个“跑飞”的点。
要是这个点跑到了锐角三角形的外心位置，那就好办了，它就在中间；要是跑到了钝角三角形的外心位置，就得小心点，出于这时候可能需求用到对顶角要么外心性质的反转。 说到外心，还有一个有趣的性质叫“外心性质”。
这个性质跟垂心有点像。
要是三角形的外心在三角形内部，那三角形的垂心在三角形外部。
要是外心跑出去了，垂心可能还在天上。
这俩点的位置是镜像关系，要么说是对偶的。外心是三条边的“平均位置”，垂心是三条高的“交汇点”。一个跑内一个跑外，配合得如此默契，说明它们确实跟三角形的结构紧密相连。 一般/平平三角形的外心，其位置可能是内部的，也可是外部的。当三角形是锐角三角形时，外心位于三角形内部；要是是直角三角形，外心恰好在斜边的中点；要是三角形是钝角或锐角三角形，外心可能跑到了外面。甭管它在哪，它一直知足到三个顶点距离相等的条件。
这个条件看似好办，做起来却得小心“跑飞”的难题。
一般/平平三角形的外心位置挺可怕，它时常跑飞，就连跑到三角形外面去。
这种“跑飞”的现象，特别适合用来搞数学题。
比如已知一个三角形里有两个角是 60 度，那第三个角也是 60 度，这是个等边三角形。等边三角形的边长相等，垂直平分线也一定相等，故此三条垂直平分线长度一样，它们交出来的点肯定在中间，是个锐角三角形的外心。 再拿一个经典的例子：一个 90 度的三角形。它的斜边是直径，垂直平分线经过斜边中点，两条直角边的垂直平分线经过直角顶点。
这两条线肯定交于斜边中点附近，是个锐角三角形的外心。
要是有一个三角形的一个角是钝角，比如 120 度，那它的垂直平分线就会往左撇去，最终交点就会跑到 90 度那一边去了。
这时候，交点就跑到三角形外面去了，变成了一个钝角三角形的外心。 这种位置的不稳定性，有时候反而是解题的关键。
比如你要证一个四边形是正方形，要么证明某个点在外接圆圆上，你往往只需求管住好这个“跑飞”的点。
要是这个点跑到了锐角三角形的外心位置，那就好办了，它就在中间；要是跑到了钝角三角形的外心位置，就得小心点，出于这时候可能需求用到对顶角要么外心性质的反转。 说到外心，还有一个有趣的性质叫“外心性质”。
这个性质跟垂心有点像。
要是三角形的外心在三角形内部，那三角形的垂心在三角形外部。
要是外心跑出去了，垂心可能还在天上。
这俩点的位置是镜像关系，要么说是对偶的。外心是三条边的“平均位置”，垂心是三条高的“交汇点”。一个跑内一个跑外，配合得如此默契，说明它们确实跟三角形的结构紧密相连。