积分中值定理证明例题-积分中值定理证明例题

说到积分中值定理，大量人第一反应就是那个标准证明：导函数大于零要么小于零，然后取介值定理，最终得出积分值等于某个中间值。
这种写法忒像教材了，彻底没那股子在现场“演”出来的劲道。咱们今天就不整那些虚头巴脑的套话，直接把积分值当成一个神秘的“隐藏常量”，看看它到底长啥样。 拿个具体例子来说吧，函数是 $f(x) = e^x$，区间是 $[0, 1]$。积分就是 $int_0^1 e^x dx$。算出来结局是多少？好办点说，就是 $e^x$ 从 0 变到 1 的面积，也就是 $e^1 - e^0 = e - 1$。
这玩意儿是个固定的数，肯定存有。 既然积分值是实数 $e-1$，根据介值定理，既然函数是连续且单调递增的，那它肯定“爬”过 $e-1$。
这意味着方程 $f(x) = e-1$ 在区间 $(0, 1)$ 里肯定有解。
这个解就是我们要找的点。但这解到底在哪？是正中间吗？还是偏左一点？ 先试着猜一下。
要是 $x=0.5$，那就是 $f(0.5) = sqrt{e} approx 1.648$。而目标值 $e-1 approx 1.718$。
哎哟，$1.648$ 比 $1.718$ 小啊。说明解肯定比 $0.5$ 大。好，那范围缩小到了 $(0.5, 1)$。再试个中间偏右的数，比如 $x=0.7$。$e^{0.7} approx 2.013$，这不比 $1.718$ 大还大呢？那说明解肯定在 $(0.5, 0.7)$ 之间。 这时候就能够大胆地画个表了。 $x=0.500$, $f(x)=1.648$ （忒小了） $x=0.600$, $f(x)=1.822$ （已经超了） $x=0.650$, $f(x)=1.915$ （还是超了） $x=0.680$, $f(x)=1.969$ （越接近了） $x=0.700$, $f(x)=2.013$ （彻底超了） 你看，$x$ 得在 $0.68$ 和 $0.70$ 之间。
这比直接套公式算导数状态得多。导数里算出 $f'(0.5) = e^{0.5} approx 1.648$，刚好等于那个积分值。
看来 $0.5$ 是个极值点。但我们要找的是积分等于某点的横坐标，而不是极值点本身。 要是 $x$ 是 $0.68$ 到 $0.70$ 之间的数，那导数肯定是正的，函数在上升。
既然它在 $0.68$ 时是 $1.969$，在 $0.70$ 时是 $2.013$，且中间是连续的，那它肯定“爬”过所有的自然数值。
特别是那层“自然数”的概念，在连续函数面前简直是幻觉。 这就是个悖论式的证明过程：积分值 $A = e-1$ 是个确定的数。而函数值 $f(x)$ 也是个确定的数。
这两个数在区间上务必相遇。
既然 $f(x)$ 是单调增的，那 $f(x)$ 就一定“经过”了 $A$。
既然它经过过，那肯定是在某个点 $x_0$ 处相交。
这个 $x_0$ 就是中值点。 不要急，我们不用去管 $x_0$ 具体是多少。我们只需求知道：对于区间 $[0, 1]$ 上任意一个 $c$，只要它在 $0$ 和 $1$ 之间，并且 $f(c)$ 和积分值 $A$ 互为反之数（符号不同），那它们的组合一定不为 0。
也就是说，$int_0^1 f(x) dx + c f(c) neq 0$。 这听起来挺抽象，实际上逻辑挺好办。积分代表的是函数整体“走过”的总面积。中找到个 $c$，让函数值变成 $-A$，那总面积里肯定包含一个正负抵消的过程，结局非零。但这只是必要条件。 什么的，这个逻辑有点绕。咱们换个角度。积分值 $e-1$ 是一个具体的实数。方程 $e^x = e-1$ 有唯一解。
这个解 $x_0$ 就是我们要找的。出于函数是单调的，故此解是唯一的。
既然解存有，那它就在 $[0, 1]$ 这个封闭区间里。 这就好比你要在一条从 $0$ 走到 $1$ 的直线上，找到一个点 $P$，使得 $P$ 的高度等于 $e-1$ 这个高度。
既然高度是连续变化的，并且起点高度是 $1$，终点高度是 $e approx 2.718$，那中间肯定经过高度 $1.718$ 这个位置。
这个位置就是 $x_0$。 要是 $x_0$ 不在 $[0, 1]$ 呢？那不可能。出于区间两头的高度都跑不到目标值。
要是 $f(0) > e-1$，那 $f(x)$ 往右下掉？不对，$e^x$ 是往右上爬。
要是 $f(0) < e-1$，那 $f(1) > e-1$。甭管如何，曲线务必“穿越”过目标水平线。 穿越到底在哪？前面算过，$0.68$ 和 $0.70$ 之间。
那 $x_0$ 肯定比 $0.68$ 大。 要是 $x_0 > 0.68$，那 $f(x_0) = e-1$。 而积分值 $A = int_0^1 f(x) dx$。 我们知道 $f(x)$ 是正的。 故此积分肯定是正的。 目前我们要证明 $A$ 等于 $f(x_0)$。 也就是要证明 $int_0^1 f(x) dx = f(x_0)$。 这看起来像是 $int_0^{x_0} f(x) dx + int_{x_0}^1 f(x) dx = f(x_0)$。 这显然不对啊，左边是两个正数相加，肯定大于 $f(x_0)$。 这里肯定有哪儿想错了。 啊，明白了。题目中“中值”一般指的是 $f(x_0) = frac{1}{b-a}int_a^b f(x)dx$ 这种形式。但刚刚那个反例 $int_0^1 e^x = e-1$ 并不知足 $f(c) = e-1$，出于 $f(e-1)$ 根本不存有（出于 $e-1$ 是数值，不是 $x$）。 什么的，我搞混了符号。 积分值是 $e-1$。 方程是 $f(x) = e-1$。 解出来是 $x_0 = ln(e-1)$。 $ln(e-1)$ 大约是 $ln(1.718)$，这肯定是负数？不对，$ln(1)$ 是 $0$，函数是递增的。 $e^0=1$，$e^1=e$。 $e-1 approx 1.718$。 $e^{0.5} approx 1.648$。 $e^{0.6} approx 1.822$。 故此 $x_0$ 在 $0.5$ 和 $0.6$ 之间。 这个 $x_0$ 是正数，且在区间内。 那么 $f(x_0) = e-1$。 而积分值 $I = e-1$。 故此 $f(x_0) = I$。 这就对了。中值定理就是证这个。 刚刚那个反例思索卡住了，是出于我下意识地把积分值当成了 $x$ 的函数值去比较。
实际上积分值就是一个数 $I$。我们需求找一个 $x$，让它等于 $I$。 既然 $f(0.5) approx 1.65$, $f(0.6) approx 1.82$。 $1.65 < 1.72$。 $1.82 > 1.72$。 故此交点 $x_0$ 在 $0.5$ 和 $0.6$ 之间。 这个 $x_0$ 知足 $f(x_0) = I$。 既然 $I = int_0^1 f(x) dx$，那么确实 $f(x_0) = int_0^1 f(x) dx$。 证毕。 这个例子实际上挺直观的，不需求全微积分那一套复杂的极限定义。
只要你能守住“函数是连续、单调”这两个底线，就能确信那个交点一定存有。 再想想，要是函数是波浪形的呢？比如 $sin(x)$。区间 $[0, pi]$。积分是 $2$。 $sin(0)=0$，$sin(pi)=0$。中间有个峰，$sin(pi/2)=1$。 积分值 $2$ 比 $1$ 大。说明曲线得爬得比 $1$ 还高。 $sin(x)$ 最大才 $1$，如何可能爬过 $2$ 呢？ 哈！
这说明中值定理里，那个“中值”实际上是指函数的平均值。 $frac{1}{pi} int_0^pi sin x dx = 2/pi approx 0.636$。 而 $sin(x) = 0.636$ 这个方程有解吗？有啊，在 $0$ 和 $pi$ 之间肯定有。 比如 $0.5$ 时 $sin(0.5) approx 0.48$，$1.0$ 时 $sin(1) approx 0.84$。 都在 $0.636$ 下面。 看来刚刚那个直接代入法有点偏。 不管怎么着，定理的核心逻辑是通的：积分是平均值，函数在某些点务必等于这个平均值。 在 $e^x$ 的例子里，实际上就是 $1$ 倍积分中值定理。 要是 $f(x)$ 连续，那么在 $[a, b]$ 上必有 $f(c) = frac{1}{b-a}int_a^b f(x)dx$。 对于 $e^x$，$int_0^1 e^x dx = e-1$。 故此 $e^x = e-1$ 有解 $x_0 in (0, 1)$。 这就叫中值定理。 好了，例子就用这个。别看公式里那个 $e$ 有点丑，但证明过程是纯粹的逻辑推演。
不需求纠结具体数值是多少，只需求知道它存有就行。 这样写，更像是在跟你对象对话，而不是在看说明书。 数据嘛，比如算出 $e approx 2.718$，然后 $e-1 approx 1.718$。 $0.5$ 对应 $1.65$，$0.6$ 对应 $1.82$。 这就够了。 不需求那么多复杂的符号堆砌，点到为止，留点想象空间。 毕竟数学不只是是公式，更是那种“猜到了，然后验证了”的心流体验。 最终再补一句，这个定理在物理和经济学里用得超广，股票价格波动分析里时常用到类似的积分中值概念，就是把一段工夫内的总收益均匀分配给某个工夫点。 好了，证明思路理顺了。