五种勾股定理的证明方法-五种勾股定理证明

想当年学生时代，老班讲勾股定理的时候，那场面比目前电影院还繁华。他不是在黑板上推导公式，而是在一堆散乱的竹竿和绳子之间找规律。记得有一次，老班给咱们出个难题：一根绳子长一丈二尺，绕着三个边长都是整数的直角三角形围成三角形，绳子会有多长？一启动我认定这题没解法，后来老班拿出三根竹竿，说这是“弦图”。他παωσ，把竹竿摆成直角，发现余数不对劲，便说：“不对，得用割补法。” 这就引出了《九章算术》里的“勾股定理”。
那时候数学还没分章，全是算术算出来的。老班有个绝招，拿根绳子去套不同形状的框。有的框是直角形的，有的只是正方形。他一边套一边念叨：“哎哟，这个框里多出来一块是三角形，那个框里多出来的是正方形。”他实际上就是在用面积讲话。把那个大直角三角形补成一个边长为三的大正方形，四个小直角三角形就挤进去了。
你看，原来勾股定理就是如此来的：四个小三角形拼成的大正方形面积，加上中间那个小正方形的面积，正好等于边长为三条的大正方形的面积。 这个方式忒神奇了。老班没写公式，直接让大家动手摆。他把一根三丈长的绳子一头系在墙角，一头拴在篱笆上。篱笆是个直角三角形，边长分别是
三、
四、五。
然后他让人在篱笆外面再围一个更大的三角形，边长是
五、
三、四。
哎？这两个三角形全等嘛！老班眯着眼看：“你看这两块地，面积是不是差不多？”对呀，差不多。他指着篱笆上多出来的那局部说：“这就相当于把两个三角形拼在一起，刚好填满那个边长为五的大正方形的一半。” 后来有人问，那要是是边长为 6、8、10 的直角三角形呢？老班直接拿根一丈长的绳子，一头固定在篱笆顶点，一头系在另一边的中点。绳子多出来的那一段，正好等于直角三角形的边长。他笑了笑：“不用算，这是常识。边长 6 加边长 8 是 14，多出来就是 14 减去 12 等于 2。短边多出来 1 减 1 等于 0。
故此总长度就是 10。”如此好办的事，如何如此多人聊聊半天？ 实际上啊，大量人早就明白了这个意思。老班有时候会跟学生开玩笑：“你看，勾股定理就像是个大魔术，只要有一根绳子，就能把面积换算成长度。”他拿根 1.2 丈长的绳子，一端系在直角三角形的斜边上，另一端系在直角边上。绳子拉直后，刚好能绕过三角形的三个顶点，形成一个完美的直角三角形。
这时候他指着绳子上的那一段说：“你瞧见了吗？这段绳子多出来的局部，正好等于直角三角形的斜边长度。” 这真是一幅绝妙的图景。老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 后来有人问，那有没有更严谨的证明方式？老班会摇摇头：“乘法原理？嗯……那得把绳子展开。把直角三角形分成两个小直角三角形。一个边长是 3，一个边长是 4。把两个三角形拼在一起，斜边就变成了 5。
这时候你再拿根绳子绕一圈，总长度就是 3+4+5 吗？不对。是 3+4+0 吗？也不对。应当是 3+4+5 吧？
什么的，原来绳子多出来的那段，实际上就是斜边啊。” 老班的课堂一直充满烟火气。他喜爱讲那些生动的例子。
比如他让我把一根绳子分成三段，每段都是整数。他问：“你能围成直角三角形吗？”我一边摆一边思索。我把两段拼起来，发现刚好能拼成一个直角。
这时候我再拿一根绳子去试，结局发现多出来的那段刚好等于斜边。
那一刻我突然明白，勾股定理不只是是一个数学公式，它更像是一种智慧。它告诉我们，甭管形状如何变化，只要知足直角条件，面积和长度的转换就有着奇妙的联系。 后来我读了一些现代教材，才认定老班说得对。他不用证明，出于证明只是把已经知道的结论说得更清楚罢了。他拿绳子去套，那是直觉的验证；他把三角形补成正方形，那是几何的直观。他让学生动手，那是让心灵的感觉化。勾股定理不需求华丽的证明，只要有人肯动手，肯信任直觉，就能在红杏下，在篱笆边，在竹竿堆里，找到那个一直被隐藏起来的真理。 你看，老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 实际上啊，大量人早就明白了这个意思。老班有时候会跟学生开玩笑：“你看，勾股定理就像是个大魔术，只要有一根绳子，就能把面积换算成长度。”他拿根 1.2 丈长的绳子，一端系在直角三角形的斜边上，另一端系在直角边上。绳子拉直后，刚好能绕过三角形的三个顶点，形成一个完美的直角三角形。
这时候他指着绳子上的那一段说：“你瞧见了吗？这段绳子多出来的局部，正好等于直角三角形的斜边长度。” 这真是一幅绝妙的图景。老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 后来有人问，那有没有更严谨的证明方式？老班会摇摇头：“乘法原理？嗯……那得把绳子展开。把直角三角形分成两个小直角三角形。一个边长是 3，一个边长是 4。把两个三角形拼在一起，斜边就变成了 5。
这时候你再拿根绳子绕一圈，总长度就是 3+4+5 吗？不对。是 3+4+0 吗？也不对。应当是 3+4+5 吧？
什么的，原来绳子多出来的那段，实际上就是斜边啊。” 老班的课堂一直充满烟火气。他喜爱讲那些生动的例子。
比如他让我把一根绳子分成三段，每段都是整数。他问：“你能围成直角三角形吗？”我一边摆一边思索。我把两段拼起来，发现刚好能拼成一个直角。
这时候我再拿一根绳子去试，结局发现多出来的那段刚好等于斜边。
那一刻我突然明白，勾股定理不只是是一个数学公式，它更像是一种智慧。它告诉我们，甭管形状如何变化，只要知足直角条件，面积和长度的转换就有着奇妙的联系。 你看，老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 实际上啊，大量人早就明白了这个意思。老班有时候会跟学生开玩笑：“你看，勾股定理就像是个大魔术，只要有一根绳子，就能把面积换算成长度。”他拿根 1.2 丈长的绳子，一端系在直角三角形的斜边上，另一端系在直角边上。绳子拉直后，刚好能绕过三角形的三个顶点，形成一个完美的直角三角形。
这时候他指着绳子上的那一段说：“你瞧见了吗？这段绳子多出来的局部，正好等于直角三角形的斜边长度。” 这真是一幅绝妙的图景。老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 后来有人问，那有没有更严谨的证明方式？老班会摇摇头：“乘法原理？嗯……那得把绳子展开。把直角三角形分成两个小直角三角形。一个边长是 3，一个边长是 4。把两个三角形拼在一起，斜边就变成了 5。
这时候你再拿根绳子绕一圈，总长度就是 3+4+5 吗？不对。是 3+4+0 吗？也不对。应当是 3+4+5 吧？
什么的，原来绳子多出来的那段，实际上就是斜边啊。” 老班的课堂一直充满烟火气。他喜爱讲那些生动的例子。
比如他让我把一根绳子分成三段，每段都是整数。他问：“你能围成直角三角形吗？”我一边摆一边思索。我把两段拼起来，发现刚好能拼成一个直角。
这时候我再拿一根绳子去试，结局发现多出来的那段刚好等于斜边。
那一刻我突然明白，勾股定理不只是是一个数学公式，它更像是一种智慧。它告诉我们，甭管形状如何变化，只要知足直角条件，面积和长度的转换就有着奇妙的联系。 你看，老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 实际上啊，大量人早就明白了这个意思。老班有时候会跟学生开玩笑：“你看，勾股定理就像是个大魔术，只要有一根绳子，就能把面积换算成长度。”他拿根 1.2 丈长的绳子，一端系在直角三角形的斜边上，另一端系在直角边上。绳子拉直后，刚好能绕过三角形的三个顶点，形成一个完美的直角三角形。
这时候他指着绳子上的那一段说：“你瞧见了吗？这段绳子多出来的局部，正好等于直角三角形的斜边长度。” 这真是一幅绝妙的图景。老班站在红杏旁边，手里拿着一根绳子。每一次摆弄，都是在验证一个古老的真理。他从不使用复杂的符号，只用最好办的线条和绳子。他在红杏下，看着学生摆弄竹竿，听得入神。他知道，学生们别看不懂几何证明的严密逻辑，但直觉告诉他们：这是对的。 后来有人问，那有没有更严谨的证明方式？老班会摇摇头：“乘法原理？嗯……那得把绳子展开。把直角三角形分成两个小直角三角形。一个边长是 3，一个边长是 4。把两个三角形拼在一起，斜边就变成了 5。
这时候你再拿根绳子绕一圈，总长度就是 3+4+5 吗？不对。是 3+4+0 吗？也不对。应当是 3+4+5 吧？
什么的，原来绳子多出来的那段，实际上就是斜边啊。”