平面几何：三角形面积与边长
在平面几何里，这两者简直就是同一个东西。三角形面积公式 。这个简单的公式背后隐藏着深刻的数学逻辑。
场景A：要是你有一个边长固定的三角形，告诉你高是 ，你能够用面积公式算出底边 。这是隐函数定理的应用， 是自变量， 是因变量，方程就是 。定理保证你一定能解出 ，并且导数存有。
场景B：反过来，要是你知道底边 和面积 ，想求高 。这时候就用了隐函数定理。方程是 ，这里 。定理保证你一定能解出 ，并且导数存有。
一维函数：反函数的导数计算
让我们换一个更代数化的例子。假设我们要预测一个复杂系统的未来路径，或者更简单地说，求解反函数。
假设有一个函数 ，让你求 。这是隐函数求导，你只需求 在原点的导数 就能求出 。例如，已知 ，求反函数 在某点的导数。这完全依赖于隐函数定理提供的局部可微性保证。
复杂系统：带噪声的算子
但在更复杂的场景，比如金融里的期权定价，要么导航里的轨迹规划，这两个工具务必分开用。
假设你要预测一个复杂系统的未来路径，这是增量法。你定义了一个复杂的算子 ，比如一个带噪声的算子，你想知道 大约是多少。这时候你用的是增量法，它告诉你 ，哪怕 这个“导数”在严格数学定义下是个病态的玩意儿，只要增量法给出的这个线性近似充足准就行。