弦图与勾股定理乐乐课堂-弦图勾股定理乐乐课堂

弦图里的几何魔术：看张大爷如何算出房梁的宽 张大爷在自家屋后修了个歪歪扭扭的凉亭，那是个典型的“赵爽弦图”现场。他站在亭子正中央，手里拿着个卷尺，对着四根搭得歪歪扭扭的柱子喊号子：“这屋里风大，得算算总得宽多少！” 到了下午，他拿着计算器对着四个角落的三角形喊：“哟，这勾股数算起来顺溜！” 听完，他又对着那根最粗的柱子喊：“这根柱子最结实，咱把角度定个九十度，反正这梁宽也得配得像！” 听着听着，张大爷心里像揣了只小兔子，高兴得合不拢嘴。
这就是咱们常说的弦图，一种把勾股定理揉进生活里的“魔法”。 咱们不用那些书上的条条框框来整，就说个好办的例子。 张大爷家的凉亭，是个长方形，长五十米。为了装玻璃，他在四个角上搭了四根柱子。
这四根柱子围成的中间是个正方形，咱们称它“内弦”。
这四根柱子，加上它们之间剩下的空隙，拼成的一个大正方形，咱们称它“外弦”。 张大爷量了量，最粗的那根柱子（也就是大正方形的边）是 13 米，这就叫“勾”。他特意挑了面宽宽的那根（也就是大正方形的边），去量一下剩下的空隙（叫“股”），结局量得正好是 5 米。
这就挺“哇塞”了，勾股定理说，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。张大爷一看，这凉亭的长和宽，不就是 5 的平方加 12 的平方吗？不对，他那是把勾股定理直接套用了。 张大爷心里想：这凉亭要是建成，得有个规矩。规矩就是，这四个柱子务必跟中间的空心局部，还有最外围的框，构成一个直角三角形。
只要这个三角形是直角三角形，那个直角边 5 米，斜边 13 米，那另一条直角边（也就是中间那个小正方形边长）肯定就是 12 米。
你看，这 5、12、13 就是一组神仙数字，好办又漂亮。 再说说那个“内弦”的小正方形。张大爷把四个三角形的直角边都拉直，它们正好拼成了咱们说的那个中间的小四方。面积上，张大爷算的是：四个三角形面积之和，加上中间小正方形面积，正好等于那个大正方形（凉亭的外框）的面积。 张大爷心里一乐：原来这凉亭的长 50 米，跟它里面那个小正方形的边长，也藏着啥关系啊？哪位敢拿个计算器算？勾股定理立马就能算出小正方形的边长是 12 米。
这 12 米，就是凉亭四根柱子之间空隙的宽度。
这可是个关键点，要是这空隙不小，凉亭就满不了。 这时候，张大爷又想到个更实用的地方。他对着那根最粗的柱子喊：“这柱子宽 13 米，那小柱子呢？能没过半截不？” 他对着那根 5 米宽的柱子喊：“这柱子细，得垫高啊。” 他对着中间那个小正方形喊：“这空隙小，要是风大，得做个防风罩！” 你看，这凉亭的构造，实际上就是一套严密的勾股定理的变体。
没有直角，这四根柱子搭不起来；没有 5、12、13 这组数，凉亭就搭不成样子。 张大爷还琢磨着，这凉亭的长 50 米，是不是也能用勾股定理来定个尺寸？他对着四根柱子喊：“这柱子宽 13 米，那中间空隙呢？要是按直角算，那就是 12 米。
那这凉亭的总宽，就应当是 13 加 12 等于 25 米啊！” 张大爷一拍大腿：对！就如此算。
这 25 米，就是凉亭的总跨度。
要是他不按这个算，凉亭的柱子就搭不对，凉亭的风就吹不拢，也不保险。 看来，这弦图比书本上学的那些公式管用多了。它把抽象的数学公式，变成了咱们生活中实实在在的东西。四根柱子、一张大网、一个直角三角形，都在屋里定住了。 张大爷最终站在凉亭里，对着四个角落的三角形喊：“这 5 加 12 等于 13，这方程解得完美！” 他对着中间的小正方形喊：“这 12 乘 12 等于 144，这面积也算得准！” 他对着最粗的柱子喊：“这 13 的平方是 169，这面积也够大！” 看着这歪歪扭扭却秩序井然的凉亭，张大爷心里不禁感叹：原来数学就在身边，只要你会转，这 5、12、13 的魔术就能让你把家弄得更结实、更宽绰。
只要你在生活里动点脑筋，勾股定理就不再是书里的枯燥文字，而是你手中能够指挥的魔法棒。