勾股数的奥秘
除了著名的三、四、五，还有五、十二、十三等无数组勾股数。这些整数解在建筑、导航和天文观测中有着广泛的应用。古人如何通过观察这些数字发现规律，是勾股定理研究的重要课题。
数论 古代数学北魏大殿上的顿悟
一段关于公平、土地与几何真理的千古寓言
宣武帝的难题
那幅画挂在北魏的祭天大殿上，愣了整整两百年才被后世认出来。直到两千多年后的维也纳，拉斐尔的画作里才真正见到了那个叫勾股定理的几何神。李约瑟先生认定这图忒老了，拿不出手；而那个画着风雨欲来的场景里，却藏着最惊世骇俗的数学。
那是中国早在两千年前就把几何学从周围世界的边缘拽进来的时刻。这个故事，得从北魏的宣武帝那里启动讲起。那时候，宣武帝遇到了一个急难，要把一片庞大的土地划成不同等级的税区。一般的官员只按方圆面积来分，认定两亩地等于四亩地，这样土地才算匀。可是宣武帝不如此想。他看地图上的形状，认定东边的田块别看面积大，形状却像一块大三角形，西边那块别看面积小，却像个细长的箭头。
“他派了个名叫杨辉的胥吏去试算。杨辉是个老实人，他拿着算盘，在那块大三角形里，先是算了一条直角边，接着算另一条直角边，最终算斜边。”
杨辉的困惑与发现
结局出来了。原来，杨辉算出了这尊大三角的面积，竟然和旁边那块小箭头一样。可杨辉心里犯嘀咕，这如何算出来的？如何线段和面积都一样？他赶紧把过程倒背出来，却发现自己算错了。杨辉把那个大三角拆下来，重新画了个等腰直角三角形，边长分别是三、四、五。他照着算，还是三乘以四除以二等于六，五乘五除以二等于十二点五。咦？如何不对？他在那儿转了三圈，最终忍不住嘟囔了一句：“这肯定不对，这如何可能啊！”
就在这时，他灵光一闪。他意识到自己可能把三、四、五这三个数记混了。但他这时候没功夫去查字典或翻书，他只能在心里反复推敲那个三角形。突然，他想起了自己之前记得的一个公式。他原本当作那个公式是用来算直角三角形面积的，心想只要把三乘四除以二，再加上三乘以三除以二，再加上三乘以四除以二，就能算出总面积。他照着算了一遍。
来了！对了！那一瞬间，杨辉的眼神变了。他看着那个被算出来的数字——六加四点五等于一点一五。他猛地一拍大腿，对着一同在场的人喊道：“你们看！我算出来！这块大三角形和西边的箭头面积竟然一样！我算错了！”
“这就是勾股定理！”
你看，这就是那个故事最精彩的地方。没有教科书式的“起初、其次”，只有杨辉那一瞬间的顿悟。他没有被“从小到大”的公式吓退，反而在算错数据的混乱中，发现了最朴素的真理。
这个故事流传下来后，有些古人还在教人：“勾三股四弦五”。他们总认定那是个固定的算法，仿佛只要勾股数凑成，面积就自动相等。可杨辉早就看穿了这一点——他不是在解一个死板的算术题，他是在丈量天地之间的公平。