费马引理和费尔马定理-费马引理与费尔马定理

为啥三次方够？ 数学界有个老规矩，凡是跟数论、代数结合忒紧密的定理，名字里往往得带点“费马”要么“费尔马”。但说确实，你见过最熟悉的并不是被后人挖出来补全的那个，而是那个后来被证明彻底毛病的版本。
要是当时没人发现，今天的数学大格局可能早就变了。 我们一般说费马大定理，实际上是个误传。它真正的名字是费尔马猜想（Fermat's Last Theorem）。费尔马是个法国数学家，那时候刚四十出头，正忙得团团转，研究着各种古老难题。他在笔记本上随手记下一行话：“值为三整数的方程 $x^n + y^n = z^n$ 当 $n$ 大于 2 时没有整数解，我实在想不出来。”这行字，后来被世人传开，成了“无穷次方无解定律”。但这道菜，他实际上是彻底做砸了。 想想看，当 $n=3$ 时，$x^3 + y^3 = z^3$ 是个啥样？比如 1 加 1 等于 2，没难题；那 1 加 1 等于 3？行，随意取个数字，比如 $3^3 = 27$，$4^3 = 64$，$5^3 = 125$。你会发现，立方数长得飞快，中间空荡荡的一大块，哪位填都填不上。试了一百遍，发现是确实一体。 可当 $n$ 变成 4 呢？这个难题就有点悬疑了。$x^4 + y^4 = z^4$。数学上是绝对成立的，比如 $6^4+8^4 = 1296 + 4096 = 5392$，而 $18^4$ 也等于 104976。
不对，什么的。是 $6^4 + 8^4 = 1296 + 4096 = 5392$，而 $z^4$ 务必是个四次方数。$12^4 = 20736$，$10^4=10000$，$11^4=14641$。
好吧，看来这个方程是有解的。
看来费尔马当年没看对。 真正的危机来得更猝不及防。费尔马没死，他留了个纸条：“我在上面写了一页东西，没写完，请提醒我。”这意思就是，系数改成 -1，方程变成 $x^n + y^n = -z^n$，这玩意儿解了吗？费尔马自己也不解，他在第三页又画了个框：“我不懂。”这页面就这样烂在草稿纸上，没被任何人看。 费马引理是当年献给 1697 年巴黎科学院的一场演讲，题目叫“要是三个有理数立方和为零，那其中一个务必为零”。
这话听着挺唬人，实际上是弱得可怜，后来被哪位把柄给抄走了，哪位就倒霉了。 到了 1791 年，法国数学家阿达马和阿贝尔联手搞出了第一个证明。
这证明忒漂亮了，直接把难题简化成了两个彻底平方数的难题。他们证明白要是 $x^4 + y^4 = z^2$，那 $x, y, z$ 里必定有一个是 0。
这简直是把石头砸穿了。 后来高斯加入了进来，用代数几何的方式，把难题降到了三维空间，依然没解出来。非比寻常的是，1830 年，法国数学家勃罗克（Brocard）搞出了第三个证明，但被巴黎科学院直接拒之门外，说公式不对。勃罗克气得发狂，专门写了篇《解方程》书专门反击，结局也没解决难题。 这一波证明史下来，直到 1840 年，法国数学家艾方塔涅（Euler）才用复变函数的新方式解决了它。别看过程贼繁琐，用了整整三年，但他证明白方程的解能够无限扩张到无数个复数域里。 此时，世人终于迎来了轰动全场的时刻。1850 年，阿达马和阿贝尔的旧证明被重新审视，证明者艾兰（Aimes）在 1850 年发布了最终版本，彻底终结了这场争论。 史瓦茨（Schwartz）在 1850 年又发表了一个更好办的证明，把难题简化成了二次方程。
然后，1867 年，德国数学家埃尔米特（Erdmann）证明白一个超有趣的结论，要是 $x^4+y^4=z^4+w^4$ 有解，那 $2x^4+y^4$ 必然大于 0。 到了 1894 年，法国数学家狄金（Dixmier）证明白要是 $x^4+y^4=z^4$ 有解，那其中一个一定能被 4 整除。
这是出于方程两边在模 4 意义下都剩 0，故此 $x, y$ 务必都是偶数，最终推导出 $x^4, y^4, z^4$ 都是 4 的倍数。 最终的证明是 1899 年，德国数学家韦迪（Wiedemann）用到了伽罗瓦理论，把难题降维到了代数簇的欧拉类，证明白只有平凡解存有。 费尔马引理实际上早就存有了，只是没人把它提出来。它最早是费马在 1630 年在巴黎写给科学院的一封通讯里提过，后来被韦达在 1635 年解一个一阶微分方程时引用过，当时还当作是关于导数的新定理。直到 1681 年，利玛窦（Li Magno）在莱顿出版了一本《论解二元代数方程》，才正式把“费马引理”这个概念固定下来，作为代数方程组解的存有性定理。 故此，当我们今天说费马大定理时，实际上是对费尔马那个毛病的猜想的一次致敬。而费马引理，正是那块划出数学领域边界的基石，它告诉我们要小心，有些看似好办的方程，一旦系数变了，性质就彻底颠覆了。