勾股定理简单证明方式-勾股定理简单五证法

先把直角三角形那三条边记下来，斜边最长，两条短边拼起来也比斜边短，并且斜边肯定大于其中任何一条直角边，这就像手里拿着两把尺子，去比试第三把尺子，尺子总得比尺子长，故此斜边大于两边之和。 再看直角，直角就是那种里面一辈子别想弯进去的角，它就像个死结，甭管如何卷，角依然在原地转不动。
要是把直角三角形的直角顶点往左边的直角边这一侧移动，那斜边就肯定比直角边长，这没啥怪的。
要是把直角顶点移到右边，斜边还是比两边长，道理是一模一样的。
关键在于那个直角，它是唯一的、绝对的，其他三个点随意拼起来，角一辈子成不了九十度。 我们拿一张纸，画一个完美的直角。在纸上画两条互相垂直的线，就构成了直角，这个直角就是那个标准的九十度角。
然后从直角顶点出发，往一个方向画一条线段，叫它直角边；再往另一个方向画一条线段，也叫它直角边。
这时候，就在这两条线段之间，画一条最长的线，叫它斜边。直角三角形就是如此个形状，两条直角边和长斜边。 目前我们要去证明这个直角三角形里，斜边的平方等于两条直角边的平方和。假设左边那条直角边长是 a，右边那条直角边长是 b，斜边长是 c。我们要证的是 $c^2 = a^2 + b^2$。 先把图在纸上铺开，要么在脑海里摆弄一下。我们在直角顶点的外面，再画两条线段，分别叫 $p$ 和 $q$。
这两条线段要把直角三角形的三条边都连起来，并且要把面积加起来，让中间那个直角三角形变成一个大的直角三角形。 要是在直角边外侧画两个小直角三角形，它们的面积之和等于原直角三角形面积的两倍，那就忒巧了。出于原三角形面积是 $frac{1}{2}ab$，两倍面积就是 $ab$。而两个小直角三角形拼起来，底加起来是 $a+b$，高加起来也是 $a+b$，它们的面积和是 $frac{1}{2}(a+b)^2$。
故此我们要让 $frac{1}{2}(a+b)^2 = ab$，展开算算就是 $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab$，化简下来就是 $a^2 + b^2 = 0$，但这如何可能呢？出于 $a$ 和 $b$ 都是长度，不可能为 0。
这说明刚刚那个假设不对，也就是两个小直角三角形拼起来的时候，不能好办的直接拼，得让它们斜边重合要么啥的，这就复杂了。 换个思路，我们来算一下两个同底等高的三角形面积。假设我们有两个三角形，它们有公共的底边，长度都是 $c$。
要是我们能证明这两个三角形的高相等，那它们的面积必然相等。 如何让这两个三角形的高相等呢？我们在原来的直角三角形旁边，再补上两个小三角形，让它们的底边正好加起来等于 $c$。
这时候，要是这两个小三角形的高都等于直角边 $b$，那它们的面积就是 $frac{1}{2} times c times b$，两倍面积就是 $cb$。而原直角三角形的面积是 $frac{1}{2}ab$，两倍面积也是 $ab$。
故此我们要让 $cb = ab$，化简得 $c = a$，这显然不对，出于斜边肯定比直角边长。 这里有个小细节，我们在构造大三角形的时候，是沿着斜边方向延伸的。对的构造应当是这样的：以直角边 $a$ 为底，高是 $b$ 的三角形和以直角边 $b$ 为底，高是 $a$ 的三角形，实际上它们面积相等。出于底乘高乘了个 $frac{1}{2}$，换底和高，数值不变。
故此这两个三角形的面积确实相等。 既然面积相等，并且底边长度都是 $c$（出于我们构造的大三角形底边是斜边，两个小三角形拼起来底边正好是 $c$），那它们的高一定相等。
这个高实际上就是直角边 $b$ 要么 $a$。 目前我们有了两个三角形，底边都是 $c$，高都是 $b$（要么说都是 $a$），面积相等。面积公式是 $frac{1}{2} times text{底} times text{高}$。 第一个三角形面积：$frac{1}{2} times c times b$。 第二个三角形面积：$frac{1}{2} times c times a$。 出于面积相等，故此 $frac{1}{2} bc = frac{1}{2} ca$。两边消掉 $frac{1}{2} c$，拿到 $b = a$。
这也意味着两个直角边相等，三角形是等腰的。但这只是特殊情况，如何证明所有情况呢？ 哦，我仿佛绕进去了。让我们回到最初的构造，这次更直白点。 我们在直角顶点 $C$ 的左上方，画一个直角三角形，底边是 $a$，高是 $b$。 在它的右边，画另一个直角三角形，底边是 $b$，高是 $a$。 把这两个三角形拼在一起，让它们的斜边重合。
这时候，新的大三角形的底边就是 $a+b$，高就是原来的直角边 $b$ 要么 $a$。 什么的，这个逻辑有点乱。重新梳理一下最顺眼的做法。 我们有两个直角三角形，它们有公共的斜边。 第一个三角形，直角边是 $a$ 和 $b$。 第二个三角形，直角边也是 $a$ 和 $b$。 要是我们把它们拼成一个四边形，让斜边重合，那剩下的局部是啥？是另一个直角三角形吗？不是。 让我们用具体的数据来试试。假设 $a=3$，$b=4$。我们要算 $c=5$，看看 $3^2+4^2=5^2$ 是否成立。 $9+16=25$。成立。 再试一个，$a=5$，$b=12$。$c=13$。 $25+144=169$。成立。 那如何从几何上推出来呢？ 我们在直角三角形 $ABC$ 中，$angle C=90^circ$。 在 $AC$ 的延长线上取一点 $D$，使得 $CD = b$。 在 $BC$ 的延长线上取一点 $E$，使得 $CE = a$。 连接 $DE$。 目前的图形是啥样子？$AC$ 和 $BC$ 是直角边，$CD$ 和 $CE$ 是新的边。 四边形 $ABED$ 是个矩形吗？不一定，要不就 $AC=BC$。 还是用面积法吧，这次调整公式。 寻思两个三角形：$triangle ABC$ 和 $triangle DCE$（假设 $D, E$ 的位置合适）。 要是我们构造两个三角形，让它们的高相等，底边加起来等于 $c$。 想象一下，有一个大三角形，底是 $c$，高是 $h$。它的面积是 $frac{1}{2}ch$。 在这个大三角形内部，要么旁边，放了两个小三角形，分别以 $a$ 和 $b$ 为底，高也是 $h$。 它们的面积和是 $frac{1}{2}ah + frac{1}{2}bh = frac{1}{2}h(a+b)$。 要是这两个小三角形能拼成一个大三角形，那它们的面积和应当等于大三角形面积。 即 $frac{1}{2}h(a+b) = frac{1}{2}ch$。 化简得 $a+b=c$。 但这只有在 $a+b=c$ 时才成立，而实际上 $a+b > c$，故此这个思路是错的。
为啥错？出于这两个小三角形拼起来的时候，并不是好办的平行四边形，它们的斜边是互相垂直的要么啥的。 啊，对了，应当是这样的： 取点 $D$ 在 $AC$ 延长线上，$AD=BC=b$（注意这里 $b$ 是直角边）。 取点 $E$ 在 $BC$ 延长线上，$BE=AC=a$。 这样构成的四边形 $ABED$ 是个矩形，出于 $angle A + angle B = 90^circ$ 不对，是 $angle C=90^circ$，故此 $angle ADB$ 和 $angle BEA$ 的关系要看角度。 算了，别纠结构造了，直接看结论的代数推导。 勾股定理的几何证明，核心就在于构造全等要么相似，要么利用面积互补。 最经典的那个，是“赵爽弦图”要么“毕达哥拉斯拼图”。 画一个直角三角形，边长 $a, b, c$。 在它的周围，画四个全等的小直角三角形。 把这些小三角形拼在一起，中间围成一个小正方形，边长是 $c$。 外面的大正方形边长是 $a+b$。 大正方形面积是 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。 中间小正方形面积是 $c^2$。 四个小三角形面积是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$。 大正方形面积 = 中间小正方形面积 + 四个小三角形面积。 $(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。 展开左边：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$。 两边减去 $2ab$，拿到 $a^2 + b^2 = c^2$。 这逻辑通顺，可是题目要求“不要教科书式表达”，“段落长短不一”。
那就别整那些公式了，直接说人话。 先把两条直角边 $a$ 和 $b$ 竖着放，斜边 $c$ 横着放。 想象一下，我们有两个这样的三角形，一个正着放，一个倒着放。它们的斜边重合。 这时候，剩下的两个角就变成了一个直角。 这就构成了一个边长为 $c+a$ 的大三角形？不对。 还是说，把两个三角形拼成一个四边形，对角线互相垂直。 这时候，这个四边形的四个角，除了对角是直角，另外两个角也是直角。 如何算面积呢？ 大三角形面积是 $frac{1}{2}ab$。 小三角形面积是 $frac{1}{2}ab times 2$？不对。 我们构造的是两个三角形，它们的斜边是公共边，直角边分别平行于大三角形的直角边。 这时候，两个三角形加起来，正好铺满了一个大正方形，边长是 $c$。 大正方形面积是 $c^2$。 两个三角形面积和是 $2 times frac{1}{2}ab = ab$。 这仿佛也不对，出于 $c^2$ 应当等于 $a^2+b^2$，而不是 $2ab$。 好吧，我们换个更直观的。 拿一块硬纸板，剪下一个直角三角形，边长 $3,4,5$。 把另一块一样的剪下来，把两块拼在一起。 如何拼才能让他们斜边重合，并且让两条直角边在一条直线上？ 这样拼出来是个四边形，对角线互相垂直。 这个四边形的面积，等于两个三角形面积之和，也就是 $2 times frac{1}{2} times 3 times 4 = 12$。 与此同时，这个四边形的面积也能够按对角线算，对角线长是 $5+4=9$ 吗？不对，对角线长度是 $sqrt{5^2+5^2} = 5sqrt{2}$？也不对。 这时候，四边形的面积公式是 $frac{1}{2} d_1 d_2$。 要是我们将两个三角形拼成一个大三角形，底是 $c$，高是 $h$。 那 $h$ 是多少？ 这时候，我们构造的是两个直角三角形，斜边重合。 这时候，剩下的两个角拼成了一个直角。 故此这是一个矩形吗？不是，要不就 $a=b$。 这是一个四边形，它的对角线互相垂直。 它的面积是 $a^2 + b^2 + 2ab$？不对。 还是回到那个最稳的拼图法。 画一个大正方形，边长是 $a+b$。 在大正方形的四个角上，各放一个直角三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 这样大正方形的面积就是 $(a+b)^2$。 这个大正方形里面，包含了啥？ 刚好包含了这四个直角三角形，它们的面积和是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$。 还剩下一个中间的正方形，边长就是 $c$，面积是 $c^2$。 故此 $(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。 展开：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$。 消去 $2ab$，拿到 $a^2 + b^2 = c^2$。 这个逻辑没难题，可是写起来可能有点像教科书。 题目要求口语化，段落不规整。 那就分几步说。 第一步，定义三角形。 第二步，画个大正方形。 第三步，解释大正方形里的组成局部。 第四步，列式计算。 第五步，化简得出结论。 再检查一下那些“起初、其次”之类的词，绝对不能有。 也不要“起初、其次、最终”这种明显的逻辑连接词。 多用“你看”、“实际上”、“目前”、“接着”、“再说”。 数据要具体，比如 $a=3, b=4$ 的例子务必写上，要么用 $3,4,5$ 代指。 调整一下结构。 开头直接说，斜边平方等于直角边平方和。 然后讲如何证明。 先画个大正方形 $ABCD$，边长 $a+b$。 在四个角剪四个直角三角形，直角边 $a,b$，斜边 $c$。 剩下的中间是个小正方形，边长 $c$。 大正方形面积是 $(a+b)^2$。 四个三角形面积和是 $4 times frac{1}{2}ab$。 小正方形面积是 $c^2$。 加起来等于大正方形面积。 算出结局 $a^2+b^2=c^2$。 再润色一下，去掉书面语，加入一些动作感。 比如“我们把纸折一折”，“画个框框”，“数一数”。 数据示例：$a=3, b=4, c=5$。 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。 $5^2 = 25$。 吻合。 还要注意段落长短。有的短，有的长。 有些句子里能够有点重复，比如“三角形”、“直角边”、“斜边”多提几次。 口语词：“就是”、“咱”、“如何算”、“你看”。 最终再读一遍，确保没有那些不准的词。 “起初”、“其次”、“最终”、“总而言之”、“值得注意的是”、“毋庸置疑”。 检查一下，代词换一下。 “比如”、“就算”、“咱”、“这”、“那”。 好的，启动写正文。 先描述图形。 再描述拼图。 然后数学推导。 最终验证数据。 通顺自然。 （自我修正：刚刚那个面积拼图里，大正方形边长是 $a+b$，四个三角形拼在大正方形边上。中间剩下边长为 $c$ 的正方形。
这个逻辑是对的。
可是四个三角形面积和是 $2ab$ 还是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$？对，是 $2ab$。大正方形面积 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$。中间正方形 $c^2$。方程 $(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。化简得 $a^2+b^2=c^2$。没难题。） 再想想有没有更好办的。 把两个直角三角形拼成一个等腰直角三角形？不中，斜边是直角，那直角边就是 $frac{c}{sqrt{2}}$，这忒复杂了，并且不符合 $a,b$ 任意。 还是用那个拼图法最直观。 要么用两个三角形拼成一个大三角形，底 $c$ 高 $h$。 $h$ 如何求？ 构造两个三角形，斜边重合，直角边平行。 这时候形成一个小三角形，底 $c$，高 $h$。 实际上 $h$ 就是 $a$ 或 $b$ 的某种组合？ 不，那个拼法好办混淆。 还是坚持“赵爽弦图”那个思路，出于那个逻辑链条最清楚，不好办出错。 OK，行，启动写了。 注意：段落要错落有致。 比如第一段长一点，讲定义。 第二段讲画大正方形。 第三段讲推导公式。 第四段讲数据代入。 第五段讲结论。 中间穿插口语。 不准不准。 严格按照要求。 最终，字数要够 1500 字以上。 这就意味着每个段落都要写足，不能忒干瘪。 能够加一些关于实生活的比喻，要么对几何形状的描述。 比如“三角形的形状就像一把剪刀”，“直角就是那个直角尺”。 这样能增添字数，也能符合“不准教科书式”的要求。 把几何规则变成生活语言。 再确认一下数据。 用小三角形来说明。 $a=3, b=4, c=5$。 $9+16=25$。 $5^2=25$。 这就够了。 要么用 $a=1, b=2, c=sqrt{5}$ 这种不整的数，但在平方后比较。 还是用整数比较好，好理解。 $3,4,5$ 是标准。 启动。 先别急着写，脑子里先过一遍。 第一段：引入勾股定理，它是几何里最了得的一个公式。 第二段：画个大正方形，边长是两条直角边加起来。 第三段：在这个大正方形里，四个角各放一个直角三角形。 第四段：中间剩下的空隙是个小正方形，边长是斜边。 第五段：算面积，列等式。 第六段：代入数据验证。 第七段：总结。 这样大约能凑够字数。 语言要略微啰嗦一点点，符合“口语化”、“准重复”、“准不完美”的要求。 比如“你看”、“实际上”、“好办地讲”、“咱们”、“这玩意儿”。 不准用“起初、其次、最终”这种连串。用“再说”、“接着”、“最终一步实际上不关键”。 用“总而言之”这种词，也千万别用。 直接用“说到了最终”、“这就说明白了”。 好，就如此定了。 写完再检查一遍。 字数够不够？ 语言有没有违规词？ 段落结构散不乱吗？ 数据对不对？ 嗯，没难题。 启动输出。 勾股定理这事儿，在咱们数学生活里算是个“硬通货”，跟那个最经典的平方和公式相关。好办来说，就是在一个直角三角形里，斜边的平方，一辈子比两条直角边的平方加起来还大，多出来的局部，正好就是斜边那一边的平方。
如何个法呢？咱不整那些教科书里那些拗口的定义，咱就顺着图看，顺着数，把规矩给捋顺。 这图得先有个底子，咱画个直角三角形，设它的斜边长是 $c$，两条直角边分别叫 $a$ 和 $b$。$a$ 和 $b$ 是两条短边，$c$ 肯定是那条最长的边。你要知道，斜边肯定大于直角边，这点不用多说。直角就是直角，就是那个一辈子正的 90 度角，像个死结，甭管如何转，角的那一边绝对直，不能弯，也不能斜。 目前咱得证明个事儿：$c^2 = a^2 + b^2$。 这玩意儿如何证呢？咱换个角度，把图的规模略微放大点。 咱在直角三角形 $ABC$ 的外面，再补上一块区域，让人看得清。 具体咋补？咱以直角边 $AC$ 为底，往右上方画一条线，长度设为 $b$；以直角边 $BC$ 为底，往右上方画一条线，长度设为 $a$。 这时候，你构成了一个大三角形，底边长是 $a+b$，高是 $b$。 这个新大三角形的面积，一眼就能看出来是 $frac{1}{2} times (a+b) times b$。 但这忒复杂了，咱换个法子。 咱把这整个图形包围起来，画一个大方框，边长设为 $a+b$。 这个大方框，面积就是 $(a+b)^2$。 在这个大方框的四个角上，咱各剪下一个直角三角形，直角边分别是 $a$、$b$，斜边是 $c$。 这就把大正方形给填满了。 剩下中间那块未被剪掉的区域，是个小正方形，它的边长正是那个斜边 $c$。 故此，这个大正方形的面积，就等于这几个小三角形的面积加上中间那个小正方形的面积。 咱来算算看。 大正方形面积：$(a+b)^2$。 四个小三角形面积：每个是 $frac{1}{2}ab$，四个加起来就是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$。 中间小正方形面积：$c^2$。 故此咱得出个等式：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。 左边展开就是 $a^2 + 2ab + b^2$。 等式变成：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$。 两边都把 $2ab$ 消掉，剩下的就是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这就证了？这逻辑挺顺的。 咱再看看具体的数值。 假设咱是 Real World 里的例子，就是那个勾股定理里那个最经典的三元组。 比如直角边 $a$ 是 3，直角边 $b$ 是 4。 那斜边 $c$ 就是 $sqrt{3^2 + 4^2}$，算出来是 5。 代入公式左边：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。 代入公式右边：$5^2 = 25$。 左边等于右边，彻底吻合。 这说明咱的推导在逻辑上是无误的。 实际上啊，这证明法有个更直观的叫法，叫“拼接法”。 咱把两个一模一样的直角三角形，拼在一起。 如何拼？让它们的斜边重合。 这时候，另外两条直角边就摆成了一个大的“L”型，要么说是一个直角梯形。 这时候，整个图形的面积，依然是两个三角形面积之和。 与此同时，这个图形的面积，也能够按底乘高算。 什么的，这个拼接有点好办凑乱。 还是坚持刚刚那个大正方形法，更稳。 出于大正方形法，直接把公式展开，逻辑链条清楚，不好办出岔子。 并且你说“第一步、第二步”、“最终一步”，咱这证明法里，实际上哪一步都是铺垫。 实际上 $a$ 和 $b$ 是长度，$c$ 也是长度，平方之后都是面积的量纲。 面积就是面积，有“面”的概念。 大正方形是个面，四个小三角形也是面，中间小正方形也是面。 这就叫“面积守恒”。 面积不能凭空消亡，也不能凭空形成。 故此大正方形的面积，务必等于这四个面面积之和。 这就好比装修房子，铺地砖，总面积是固定的。 四个角各铺一块，中间留个坑。 那总面积就是地砖数之和。 这道理在几何里是一样的。 再说说实际操作。 咱拿计算器算算平方。 $3^2$ 是 9。 $4^2$ 是 16。 $9+16=25$。 $5^2$ 也是 25。 彻底一样。 这说明公式没难题。 那要是 $a=1, b=2$ 呢？ $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$。 斜边是 $sqrt{1^2+2^2}$ 也就是 $sqrt{5}$。 $sqrt{5}^2 = 5$。 还是 5。 数据验证通过。 故此说，勾股定理就是告诉你，在直角三角形里，斜边的平方，等于两条直角边的平方和。 这就像说，你家的房子地基（直角边）的总面积，加上某个装饰（平方项），正好能盖出整个房子（斜边相关的面积）。 别看这个比喻可能不忒准，数学是严谨的，但咱老百姓理解这种“整体等于局部之和”的关系，就懂了。 你看，斜边 $c$ 平方，就是 $25$。 直角边 $a$ 平方是 $9$，直角边 $b$ 平方是 $16$。 $9$ 加 $16$，正好等于 $25$。 这就叫完美契合。 勾股定理就是如此一个公式，它把几何关系和代数算式给打通了。 不管是 3-4-5，还是 5-12-13，都在这套逻辑里。 核心就是那个平方，把长度变成了面积。 长度是线，面积是面。 线相加不等于面相加。 但斜边平方等于直角边平方和，这就是弦图法的精髓。 咱就是如此一个证明。 中间那个小正方形，边长就是斜边 $c$。 面积就是 $c^2$。 四个直角三角形，面积和是 $2ab$。 大正方形面积 $(a+b)^2$。 $(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。 展开就是 $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$。 消去 $2ab$，拿到 $a^2 + b^2 = c^2$。 这就证完了。 这就不是死记硬背，这是推导出来的。 咱把步骤分了一下，给了个例子，咱就总行了。 这定理真挺有意思的。