二项式定理公式展开-二项式定理展开

二项式展开这事儿，实际上挺有意思的，别整那些教科书里写着“起初……其次……最终……"的仪式感。你只需求想象一个盒子，里面装了好几个不同颜色的球，每次从盒子里往外摸一个球，记录下它的颜色，然后再把刚刚摸到的球重新装回去，摸的球数不能少了，也不能多了。
这一整套操作，就是二项式定理。咱们就不拿那些“起初、其次、最终”这种老古董来套了，直接上干货，看看球是如何一个个滚出来的。 咱们先看最好办的情况，就是 $n$ 个球，每个球的颜色都是固定的，比如全是红球，只有一种颜色。
这时候你随意摸一个，那颜色肯定是红的。一旦你摸了一个红球，你也得把刚刚摸到的那个红球放回去，否则你就变成“摸一个、放一个”了，这逻辑就崩了（这里实际上有个小疏漏，应当是摸一个放一个，要么摸一个放回，但为了严谨，我们重新表述一下）。 咱们重新来定义一下。假设目前有一个盒子，里面放着 $n$ 个球，每个球的颜色都一样，比如全是红色的。目前你从盒子里摸出一个球，记录下它的颜色，然后把刚刚摸到的那个球放回盒子里。一共要摸多少次呢？自然是 $n$ 次。
每次摸到的结局都是红的，出于盒子里全是红球。
故此，你摸了 $n$ 次，每次都记“红”，一共写下了 $n$ 个“红”。
这时候，你会发现，$2^n$ 次的话，实际上是 $n$ 个“红”；而 $2^n$ 次的话，实际上是 $n$ 个“红”。 什么的，这个例子仿佛有点绕。咱们换个思路，把球换成颜色种类。假设盒子里有红球、蓝球、绿球三种颜色。目前你要把盒子里的球颜色全体倒出来，一边倒一边去数。
这时候，要是你一次只倒一个球，数一遍，那就是“红、蓝、绿、红、蓝、绿、红……"，这样下来，你会发现你倒出来的球的颜色序列，实际上就是从 0 次倒到 $n$ 次，每次倒一个球。 咱们还是别搞那么复杂。咱们直接看常见的情况。
比如 $n=2$，也就是你要把盒子里的球倒出来，一共要数 2 次。
这时候你有几种可能的情况呢？
要么把盒子里的两个球都倒出来，要么只倒一个。具体来说，第一次倒的时候，你能够倒出红球，也能够倒出蓝球，也能够倒出绿球。
第二次倒的时候，你务必把第一次倒出来的那个球再倒回来，与此同时再倒出一个新的球。 故此，第一次倒的时候你有 3 种选择（红、蓝、绿），第二次倒的时候也有 3 种选择（红、蓝、绿），可是这两个选择是独立的，互不影响。一旦你第一次选了“红”，第二次就务必选“红”要么“蓝”要么“绿”。
这样算下来，总共有 $3 times 3 = 9$ 种不同的倒法。
这时候，你会看到，每一次倒出来的序列，实际上都是“红、红”、“红、蓝”、“红、绿”、“蓝、红”、“蓝、蓝”、“蓝、绿”、“绿、红”、“绿、绿”这九种情况。 你看，这九种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“蓝、红”？这是第一次倒蓝球，第二次倒红球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
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可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
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可是这两个选择是独立的，互不影响。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
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这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
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5.蓝、蓝
6.蓝、绿
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8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
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6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
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这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
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这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
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故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
第一次倒绿球，第二次倒蓝球，就是“绿、蓝”。
第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
第一次倒的时候，你有 3 种选择（红、蓝、绿）。
第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
故此总的组合数就是 $3 times 3 = 9$ 种。
这时候，你会发现，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
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8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
第一次倒蓝球，第二次倒绿球，就是“蓝、绿”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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第二次倒的时候，你又要有 3 种选择（红、蓝、绿）。
可是这两个选择是独立的，互不影响。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
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5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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第一次倒绿球，第二次倒绿球，就是“绿、绿”。 这时候你总结一下，所有的情况加起来正好是 9 种。
这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
4.蓝、红
5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这个具体的例子算出来。
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1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
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5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
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5.蓝、蓝
6.蓝、绿
7.绿、红
8.绿、绿 目前你看，这 9 种情况里，哪一种是“红、红”？这是把盒子里的两个球都倒出来的情况。哪一种是“红、蓝”？这是第一次倒红球，第二次倒蓝球的情况。哪一种是“红、绿”？这是第一次倒红球，第二次倒绿球的情况。 咱们持续往下数，看看还有几种。你第一次倒蓝球，第二次倒蓝球，那就是“蓝、蓝”。
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这时候你会发现，这 9 种情况里，有 4 种是两球都一样的，有 4 种是一球一样、一球不一样的，有 1 种是彻底不一样的。 咱们把这 9 种情况列出来：
1.红、红
2.红、蓝
3.红、绿
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7.绿、红
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