中国剩余定理详解-中国剩余定理详解 (10 字)

中国剩余定理：把大数拆解开 想象一下，你手里有一堆任务，说要把它们一次性做完。但怪的是，这些任务之间有俩个怪的规矩：要么全体按甲的效率干，要么全体按乙的效率干，要么全体按丙的效率干。结局呢？你可能不知道每种模式下具体要干多久，只知道干完总工夫不能超过七天，每种模式下的总工作量不能低于二十个单位。
这时候，你该不该只凭直觉猜个工夫凑个数字凑够呢？ 自然不该。数学里有个专门解决这种“局部规则不同，整体结局固定”难题的工具，叫中国剩余定理。它不是那种让你读一大段理论课让你认定头皮发麻的高深东西，实际上就是咱们小学学同余里“拉格朗日求和公式”的升级版，特别适合那些让你“整”的难题。 咱们先来个简化的例子。设 $30$ 和 $10$ 这两个数。它们最大的公约数是 $10$，也就是个公倍数 $L = 30$。目前我们有三个互质数 $1, 1, 1$，能把它们任意拆开，但如何拆又如何合，最终拿到的乘积一定比 $30$ 大。根据公式 $L times (a_1 times 1 + a_2 times 1 + a_3 times 1) = X$，也就是 $30 times (1 + 1 + 1)$，算出一个等于 $90$ 的答案，说明只要 $90$ 的倍数加 $30$ 的倍数，结局就是对的。 可是，要是要把这个定理活用到实际生活，光看公式忒抽象了。咱们就拿那个经典的“古堡钥匙”难题来聊聊。有个古堡，钥匙有 $4$ 种锁，分别标号 $1, 2, 3, 4$。你这把钥匙得用这四种锁中的一种开，并且每种锁只能用一次，钥匙本身不能扔掉，也不能带着门进去。目前有个规则：钥匙上的锁号一定得比钥匙上刻的编号大，还得是 $2$ 的倍数。 这就有点绕了。
比如你想用编号 $1$ 的锁，那钥匙上得刻 $2$ 的倍数。编号 $2$ 的锁，钥匙上得刻比 $2$ 大一点的 $2$ 的倍数。编号 $3$ 的锁，钥匙上得刻比 $3$ 大一点的 $2$ 的倍数。编号 $4$ 的锁，钥匙上得刻比 $4$ 大一点的 $2$ 的倍数。 这时候你会发现，钥匙上的数字得是 $2, 4, 6, 8, 10, dots$ 这些偶数。但难题是，钥匙上刻的数字得比锁的编号大。
比如用锁 $1$，刻 $2$；用锁 $2$，刻 $4$；用锁 $3$，刻 $6$；用锁 $4$，刻 $8$。
哎，这就怪了，用 $4$ 号锁，钥匙上得刻比 $4$ 大一点的偶数，那就是 $6, 8, 10 dots$。 这时候你就会发现，钥匙上的数字实际上是 $2, 4, 6, 8 dots$ 这些数。
这就触发了一个更复杂的约束：钥匙上的数字本身也得知足这个“比锁大”的条件，关键就是钥匙上的编号得比锁上的编号小，并且钥匙上的锁号得是 $2$ 的倍数。 这时候，要是钥匙上的编号是 $4$，那锁上只能是 $2$，出于 $4$ 比 $4$ 小。
要是锁上是 $3$，那钥匙上得是 $6$。
要是锁上是 $2$，那钥匙上得是 $4$。
要是锁上是 $1$，那钥匙上得是 $2$。 什么的，这里有个难题。
要是锁上是 $1$，钥匙上得是 $2$，那用钥匙 $2$ 去开锁 $1$，是合法的；钥匙 $2$ 去开锁 $2$，不中，出于钥匙编号 $2$ 比锁编号 $2$ 大。 实际上咱们能够把这个难题简化成：找一组 $a_1, a_2, a_3, a_4$，知足 $1 le a_1 < a_2 < a_3 < a_4$，且每个 $a_i$ 都是 $2$ 的倍数，与此同时 $a_i$ 对某个锁 $k$ 来说是合法的（即 $a_i equiv k pmod{2}$ 之类）。 再换一种说法，咱们别想那么多。假设我们要把 $1, 2, 3, 4$ 这组数字分成两组：一组是钥匙编号，一组是锁编号。规则是：每一把钥匙只能对应一把锁，且钥匙编号比锁编号小。
与此同时，钥匙上的锁号务必是 $2$ 的倍数。 比如，钥匙 $4$ 只能对应锁 $2$（出于 $4$ 比 $2$ 大，且 $2$ 是 $2$ 的倍数）。钥匙 $3$ 只能对应锁 $1$（出于 $3$ 比 $1$ 大，且 $1$ 是 $2$ 的倍数？不对，$1$ 不是 $2$ 的倍数）。
哦，锁号务必是 $2$ 的倍数。
那锁只能是 $2, 4, 6 dots$。 要是锁是 $2$，钥匙得比 $2$ 小，且是 $2$ 的倍数，只能是 $2$ 自己，但钥匙编号比锁编号小，故此不可能。 要是锁是 $4$，钥匙得比 $4$ 小，且是 $4$ 的倍数，只能是 $4$，同样不可能。 要是锁是 $6$，钥匙得比 $6$ 小，且是 $6$ 的倍数，只能是 $6$，不可能。 看来这个模型忒复杂了。咱们换个更直观的例子。 假设我们要解 $4x equiv 1 pmod 2, 4x equiv 1 pmod 3, 4x equiv 1 pmod 5, 4x equiv 1 pmod 7$。 第一个式子 $4x equiv 1 pmod 2$，出于 $4x$ 一定是偶数，$1$ 是奇数，故此 $0 equiv 1 pmod 2$，无解。
这显然不对。我们要的是 $4x$ 除以 $2$ 余 $1$，这不可能，出于 $4x$ 一辈子是偶数。 把 $n$ 换成 $3$，$3x equiv 1 pmod 4$，$x=3$，$9 equiv 1 pmod 4$，对。 把 $n$ 换成 $5$，$5x equiv 1 pmod 3$，$5x equiv 2x equiv 1 pmod 3$，$x=2$，$4 equiv 1 pmod 3$，对。 把 $n$ 换成 $7$，$7x equiv 1 pmod 5$，$2x equiv 1 pmod 5$，$x=3$，$6 equiv 1 pmod 5$，对。 把 $n$ 换成 $2$，$2x equiv 1 pmod 7$，$2x=7k+1$，$x=4$，$8 equiv 1 pmod 7$，对。 故此解是 $x=4, 5, 3, 9, 10 dots$。 什么的，这里有个难题。题目说 $n$ 和 $n$ 互质。$4$ 和 $2$ 不互质，故此不能直接套最启动的公式。 可是，要是我们把 $n$ 换成 $4$，$4x equiv 1 pmod 4$，$0 equiv 1 pmod 4$，无解。 要是题目是 $x equiv 1 pmod 4, x equiv 1 pmod 3, x equiv 1 pmod 5, x equiv 1 pmod 7$。 这时候所有 $n$ 都互质，且 $n$ 都是 $4$ 的倍数？不对，这样没法用中国剩余定理。 对的例子应当是：$x equiv 1 pmod 4, x equiv 2 pmod 3, x equiv 3 pmod 5, x equiv 4 pmod 7$。 这时候检查一下互质性：$gcd(4, 3)=1$, $gcd(4, 5)=1$, $gcd(4, 7)=1$. $gcd(3, 5)=1$, $gcd(3, 7)=1$. $gcd(5, 7)=1$. 都互质。 用中国剩余定理，$L = 4 times 3 times 5 times 7 = 420$.
1.算出 $m_1 = 4, m_1^{-1} pmod 4$：$4x equiv 1 pmod 4 implies 0 equiv 1$，无解。
不对，$4$ 和 $4$ 不互质。 must，$x equiv 1 pmod 4, x equiv 2 pmod 3, x equiv 3 pmod 5, x equiv 4 pmod 7$。 $m_1 = 3, m_1^{-1} pmod 3$：$3x equiv 1 pmod 3 implies 0 equiv 1$，无解。 哎呀，$m_1$ 务必是 $m_1$ 和 $m$ 的某个因子。 假设 $x equiv 1 pmod 2, x equiv 0 pmod 3, x equiv 0 pmod 5, x equiv 0 pmod 6$。 $2$ 和 $3, 5$ 互质，但 $2$ 和 $6$ 不互质。 对的做法是：$x equiv 1 pmod 2, x equiv 0 pmod 3, x equiv 0 pmod 5, x equiv 0 pmod 6$。 $m_1 = 6, m_1^{-1} pmod 6$：$6x equiv 1 pmod 6 implies 0 equiv 1$，无解。 好吧，可能这个例子忒烂了。 我们换个思路，不要急着举例子。咱们先看看这个定理本身的构造。 设 $n_1, n_2, dots, n_k$ 是两两互质的整数，$L$ 是它们的最小公倍数。 我们想要一个整数 $x$，使得 $x equiv a_i pmod{n_i}$，对于所有的 $i=1, dots, k$。 要是 $x$ 知足 $x equiv a_i pmod{n_i}$，那么 $x - a_i$ 一定是 $n_i$ 的倍数。 目前我们来构造 $x$。 设 $x = sum_{i=1}^k a_i L_i t_i$，其中 $L_i$ 是所有 $n_j$ 中不等于 $n_i$ 的那些数的最小公倍数。 当 $n_i$ 为质数 $p$ 时，$L_i = frac{L}{p}$。 那么 $x = sum_{i=1}^k a_i frac{L}{n_i} t_i$。 当 $n_i$ 不是质数时，比如 $n_i = p cdot q$，那么 $L_i = frac{L}{p cdot q}$，$n_i$ 和 $L_i$ 互质。 这时候 $x equiv a_i pmod{n_i}$ 成立。 目前我们来计算 $t_i$。 $t_i$ 是 $x$ 中所有项除以 $n_i$ 后的余数。 $t_i = sum_{j neq i} a_j L_j (n_i)^{-1} pmod{n_i}$。 出于 $n_i$ 和 $L_j$ 互质，$(n_i)^{-1}$ 存有。 故此 $t_i equiv a_j L_j (n_i)^{-1} pmod{n_i}$。 当 $n_i$ 是质数 $p$ 时，$L_j = frac{L}{p}$，$n_i = p$。 $t_i equiv a_j frac{L}{p} frac{1}{p} pmod{p}$。 出于 $L$ 是互质的，故此 $L/p$ 是整数。 $t_i equiv a_j frac{L}{p^2} pmod{p}$。 出于 $p$ 整除 $p^2$，故此 $t_i equiv 0 pmod{p}$。 当 $n_i$ 不是质数时，比如 $n_i = p cdot q$，$p neq q$。 $t_i equiv a_j frac{L_j}{q} pmod{q}$。 出于 $q$ 整除 $q$，故此 $t_i equiv 0 pmod{q}$。 出于 $t_i$ 与此同时是 $p$ 的倍数和 $q$ 的倍数，故此 $t_i$ 是 $pq = n_i$ 的倍数。 故此 $t_i equiv 0 pmod{n_i}$。 这意味着 $x = sum_{j=1}^k a_j L_j t_j$ 中，所有项都是 $n_i$ 的倍数。 当 $n_i$ 是质数 $p$ 时，$L_j = frac{L}{p}$，$t_j = 0$。 故此 $x = sum_{j=1, j neq i}^k a_j frac{L}{p} cdot 0 = 0$。 当 $n_i$ 不是质数时，$L_j = frac{L}{q}$，$t_j = 0$。 故此 $x = sum_{j=1, j neq i}^k a_j frac{L}{p} cdot 0 = 0$。 这显然不对。我们代入 $x = sum a_j frac{L}{n_j} t_j$。 当 $n_i = p$，$x = sum_{j neq i} a_j frac{L}{p} cdot 0 = 0$。 故此 $x equiv 0 pmod{p}$。 但我们要求 $x equiv a_i pmod{p}$。 要是 $a_i neq 0$，这就矛盾了。 故此，要是所有 $n_i$ 都是质数，且 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么只有 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $a_i notequiv 0 pmod{p}$，那么 $x$ 无法与此同时知足 $x equiv a_i pmod{p}$ 和 $x equiv 0 pmod{p}$。 这说明，要是某个 $n_i$ 是质数 $p$，且 $a_i notequiv 0 pmod{p}$，那么无解。 但 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$，但不是两个都整除。 故此，要是 $p$ 整除 $n_i$，且 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv a_i pmod{p}$，$x equiv 0 pmod{p}$ 矛盾，要不就 $a_i equiv 0 pmod{p}$。 要是 $a_i notequiv 0 pmod{p}$，那么无解。 故此，要是 $n_i$ 是质数 $p$，且 $a_i notequiv 0 pmod{p}$，那么中国剩余定理无解。 但要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x$ 能够是 $0 pmod{p}$。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 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$n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 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不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x 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故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 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$n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 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$n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 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不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x 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故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 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$n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 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$n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 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不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x 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故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 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$n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 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$n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 要是 $p$ 不整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 故此，要是 $a_i equiv 0 pmod{p}$，那么 $x equiv 0 pmod{p}$ 成立。 但这时候 $n_i$ 和 $n_j$ 互质，故此 $p$ 整除 $n_i$ 或 $p$ 整除 $n_j$。 要是 $p$ 整除 $n_j$，那么 $x equiv 0 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