诺特定理 运动积分-诺特定理与环境积分

诺特定理是物理学里最让人又爱又恨的定律。它说，要是某个物理场不随工夫变化，那么功能在这个场上的力里就藏着某种守恒量；要是功能在这个场上的力跟这个场里的变量成比例，就会有另一个守恒量。
听起来像数学游戏，但仔细琢磨，它彻底转变了我们对对称性和守恒的理解，把“对称性”从抽象概念变成了看得见的物理现实。 那会儿我们讲守恒定律，总认定是老天爷让人类的实验设计挺完美，结局才碰出这个规律。
牛顿受力后，伽利略抓住了这一点，接着到拉格朗日和哈密顿，大家又接着往下推。
后来直到诺特定理的提出，才有人终于捅破了这层窗户纸，发现了对称性和守恒量之间那种深刻的内在联系。
这就像在混沌的宇宙里突然点亮了一盏灯，照亮了那些原本被忽略的脉络。
这盏灯不是凭空出现的，它来自时空本身的几何性质。 时空的对称性，说白了就是时空能如何动，都不影响物理定律的本质。比方说原点上的点，绕着原点转一圈，它的物理性质不变。
这种旋转对称性，直接对应着角动量守恒。再比如，要是我们把实验室的坐标系平移一下，所有实验结局还得按老样子走，那平移不变性对应的就是动量守恒。
还有更了得的那个，要是我们把实验室整体搬进电梯里，要么把整个宇宙平移，实验结局依然成立，这就是时空平移不变性，对应的就是能量守恒。 这里的一个细节挺关键，诺特定理里讲的是“物理定律不变”，而不是“实验观测结局不变”。
哪怕你思维模式变了，要么换了个坐标系，只要物理定律本身没变，那些守恒量就得跟着变。
比如角动量的定义跟坐标系相关，要是你换了个坐标系，角动量的数值得变，但角动量守恒这个规律在整个坐标系里依然成立。
只有当物理定律本身跟坐标绑死的时候，守恒量才是那个“宇宙常数”。 能量守恒是诺特定理里最成功的一个例子。19 世纪，麦克斯韦已经把电磁场方程摆在那儿了，但那时候没人能知道它跟诺特定理有啥关系。直到 20 世纪初，诺特定理提出，能量守恒成了麦克斯韦方程组空间平移对称性的直接推论。
这忒震撼了，那会儿我们总认定能量守恒是个经验定律，如何推导出来的？目前清楚了，它是时空在“吃”你的能量。 在国际单位制里，能量单位叫焦耳。焦耳这个单位专门就是为了纪念艾萨克·牛顿做的功而定的。功的定义是力乘以位移，故此功的单位肯定是牛顿乘以米，也就是焦耳。
你看牛顿第二定律里，力乘以位移，实际上就是质量乘以加速度乘以距离，也就是质量乘以速度乘以距离，再乘速度。
这跟能量彻底是同款单位。
牛顿自己讲过，他为了纪念这个发现，特意把“功”改成了英文单词“work"，顺便把单位也定好了。
这建议要是没采纳，目前国际单位制里该用啥单位呢？ 说到单位，实际上大量单位都是诺特定理派功劳的。
比如作为“力”的那个单位，新制把牛顿改成了“千克·米/秒²"。
那会儿叫“牛”，目前叫“牛顿”，听起来比“牛”更像是一个物理量，而不是某种生物。
还有“电功”那个单位，焦耳，也是纪念伊萨克·牛顿的；“电功率”那个单位瓦特，也是纪念瓦特；“电荷量”的那个单位库仑，也是纪念库仑。
这连个“电”字都还没提呢，如何大家都如此写？牛顿肯定是没想到的，出于这归于纯粹的数学推导，跟牛顿力学彻底没关系。 实际上，诺特定理能推导出如此多守恒量，是出于它把时空的对称性量化了。时空的对称性之故此能导出角动量，是出于对称性跟坐标的旋转是一回事；导出质量，是出于对称性跟坐标平移是一回事。对称性是守恒的“根源”，守恒量是“结局”。
没有对称性，就没有守恒量。 这里还能够举个具体的例子。想象一个粒子在做圆周运动。
要是它做匀速圆周运动，那它的位置在变，速度在变，那它肯定没有角动量的守恒性。
要不就它绕着无穷远点转，要么它的速度只跟位置相关，跟角度没关系。否则，角动量就不守恒。
反过来，要是角动量守恒，那速度只能跟位置相关，跟角度没关系。
故此，角动量守恒实际上就是圆周运动的必要条件。 再说说旋转对称性。
要是我们把物理定律写在球坐标系里，绕着原点转，球坐标系里的物理量得一样，那角动量就不守恒。但要是转了，坐标变了，角动量的数值可能变了，但守恒律还在。 还有一个有趣的点，就是诺特定理的推广。它不只有一个，有无穷多组诺特定理。
要是你能找到一个对称性，它就对应一个守恒量。
要是你能找到一个守恒量，你就能找到对应的对称性。
这就像是你家有一把钥匙（守恒量），你用它去开门，门就开了，门缝里露出了啥图案（对称性）；要么要是你发现门缝里有图案，你想想你是如何把门开的，肯定对应着某种特定的图案（对称性）。 实际上，诺特定理早就告诉我们要小心了。在量子力学里，能量守恒是定域在工夫上的。
要是能量守恒，一定有一个能量算符跟工夫算符对易，也就是能量算符跟工夫算符不依赖工夫。
要是你换个能量算符，它跟工夫算符不对易了，那能量守恒就不成立。
这说明，不仅能量守恒，连你定义“能量”的方式都务必遵守诺特定理。 诺特定理还推动了量子力学的发展。
比如角动量在量子力学里的本征值是离散的，也就是只能取某些特定值。
这跟经典力学里角动量连续变化彻底不同。旋转对称性害得了角动量的量子化，这是量子力学的一个关键特征。
要是没有诺特定理，我们可能一辈子不知道为啥角动量不能连续变化，只能跳跃。 还有，诺特定理还跟引力相关。爱因斯坦的广义相对论里，引力就是时空的弯曲。时空的弯曲是一种对称性。在弯曲时空中，守恒量跟时空的对称性相关。
比如测地线，它在弯曲时空中是“最直”的路径。在平坦时空中，测地线就是直线，它是空间平移对称性的体现。在弯曲时空中，测地线本身就是一种对称性，出于它跟坐标平移不变性相关。 实际上，诺特定理给人一种错觉，像是物理学家搞出来的“发明”。大家都在研究时空的对称性，最终发现时空的对称性就是守恒量的来源。感觉仿佛是时空自己“想”出这些守恒量来，这种想法忒完美了。但仔细想想，物理学家本来就是靠数学推导出来的，不是时空在想象。 不过，诺特定理确实把对称性和守恒量联系了起来，这确实是物理学的一大发现。
那会儿我们不知道为啥能量守恒，后来才发现是时空平移对称性在起功能。
那会儿不知道为啥角动量守恒，后来发现是旋转对称性在起功能。
这种联系是物理学的灵魂，是物理学的核心。 最终，我想说，诺特定理和守恒定律一样，都是放之四海而皆准的真理。
不管你在哪儿，不管你在哪儿做实验，只要物理定律不变，守恒量就变。
这正体现了物理学的普适性。