毕达哥拉斯勾股定理证法-勾股定理经典证法

毕达哥拉斯的定理，就像咱村头老槐树上那棵没砍掉的树。
不是哪位随意琢磨出来的，是从一块块泥土堆出来的。咱们先别想它有多“完美”，那得先看看它是如何从一堆乱七八糟的石头堆里长出来的。 话说当年，爱琴海边的那个小镇，一群年轻人带着石头来了。一块大石头，又平又直，像块砖头，脚底能站人，这个叫直角。他们就在旁边弄了一堆小石头，乱七八糟地堆在一起，左边高，右边低，中间凹进去，像个梯形。
这最基础的一步，叫“勾”。
那条直直长长的边，叫“股”。
那斜着搭上去的那条路，叫“弦”。一启动，他们认定这玩意儿挺有意思，想看看能不能画成个正方形。 然后，他们得把这一块梯形分成三小块。前面那两块，就是“直角边”，长边叫“阳”，短边叫“阴”。后面连接的那条长边，叫“斜阴”。
这就得靠尺子量量，看这两块小长方形能不能拼成一个正方形。拼出来是个长方形，那面积就出来了。
接着，再往里面分，把大长方形按着它自己的对角线切开。
这样，它就被切成了四个小的直角三角形。 这时候，大家发现：原来大正方形的面积，等于两个“直角边”的数加起来再乘以这两个数的积，减一半。
这就叫平方。
那斜边呢？它对应的三角形面积，也是同样的公式。
可是，这两个三角形，一个在左边，一个在右边，那剩下的两个小三角形呢？它们俩拼起来，正好是个小正方形，边长就是那个“斜边”的长度。 故此，大正方形的总面积，实际上是由“股”的平方、“弦”的平方，再加上两个“阴”的平方组成的。
也就是说，大正方形的面积 = 股² + 弦² + 2×阴²。 大家算完这个公式，眼都直了。但难题来了：那“阴”代表啥？是直角边吗？ 这时候，希腊人有个叫欧几里得的家伙，他是个智慧人，但他是个哲学家。他琢磨着：要是这个三角形是等腰直角三角形如何办？那就是“阴”等于“股”。
那公式就得变成 股² + 弦² + 2×股²，也就是 3 股² + 1 弦²。可这不合理啊！等腰直角三角形的斜边肯定比直角边长，如何可能比直角边还短？显然这里出错了。 这说明啥？说明刚刚那个“阴”的概念，并没有对应到直角边上，而是指代一种更抽象的“差”。就像咱做饭，把肉多了。 便，他们重新来。
这次，他们把那个梯形按着对角线分，把剩下的两个小三角形也按着对角线分。
这样一来，大正方形就被分成了九块：中间一块大的正方形（边长是弦），四个角上的四边形，还有四条边上的小三角形。 这时候，就要看那个四边形是不是个正方形了。
要是它是正方形，边长就叫“一”。
那就有三个正方形。中间的边长是“弦”，角上的边长是“一”。剩下的四条小三角形，它们的直角边，能不能凑出“一”？要是能，那它们就是直角。 大家量一量，嘿，还真行！不管“股”是多少，只要能把“一”平均分成三份，那剩下的局部就能拼成那个直角。
这就好比咱挑煤，不管手里有多少煤，都能分出三份来，每份都是整数要么好办的分数。 故此，勾股定理的雏形实际上是：当你能把直角边分成三份时，斜边就是“一”，另外三块就是正方形。
这比咱们目前写的那个公式早了不知多少年，并且更直观。把“股”看作“一”，把剩下的“阴”看作“一”，斜边看作“一”。 这时候，大家终于悟了。
原来，这个定理是说：要是斜边被分成两根，一局部是“一”，另一局部也是“一”，那剩下的差（也就是“阴”），加上“股”的平方，就等于“弦”的平方。 不过，这还不够严谨。出于“一”是个概念，不是具体的数。
要是改成具体的数，比如“股”是 3，那“一”就是 1 分 3 分 2 分。
这时候，就要算 3² + 1² + 2×1.5² + 2×0.5²... 这账简直没法算。 便，他们发现，这个关系式忒复杂了，反正也推导不出规律。
最终，他们干脆把“股”和“弦”都看作具体的数，不再去管“一”是啥概念了。便，他们找到了那个最简练的公式：直角边的平方和，等于斜边的平方。 这就叫“勾股定理”。 但为啥叫“勾股”呢？这有个趣闻。传说毕达哥拉斯是个多疑的人，别人拿一个小三角形问他能不能配成正方形，他说“不中”。等他把那堆石头搬进屋里，拿起大正方形一看，竟然能完美对上。
后来他问旁边的人，那人说：“哎呀，刚刚您拿的是个小三角形，目前您拿的是大正方形，故此不中。”毕达哥拉斯一听，脸一红，赶紧把大正方形搬过来，对那人说：“行了，这回配上了。” 后来，他特意给这条边起了个名子，叫“勾”，给那条直角边叫“股”。
反正就是如此个理由：上一批配不上，这一批配上了，故此得名。 这就解释了为啥那个公式最终长得跟目前不一样。出于“股”和“弦”一启动是概念，后来才变成数。在概念阶段，它是关于“差”的；在数阶段，它变成了具体的长度。就像咱们小时候数鸭子，刚启动认定“一块、两块”，后来数到“一百多块”就彻底不一样了。 故此，毕达哥拉斯的定理，不是凭空想出来的，它是从一堆叠罗汉的石头里，一层层剥开了皮，从不清楚的概念里，一步步变成了清楚的算术公式。
有时候，它就连比目前的说法还要绕，比教科书里的“股² + 弦² = 筋²”还要让人费解。 就像咱过日子，有时候走弯路，有时候还得回头看看，但最终发现，那个绕弯的路，实际上是最顺的路。