三角形五心定理及性质-三角形五心定理性质

三角形五心：一张地图上的城市布局 画三角形，就像在纸上扔三颗石子。
这三颗石子散开后，整个平面被切割成了几个区域。在这个看似随机的几何图景里，隐藏着五颗“心脏”。每一颗心都有一个名字，每一颗心都有它独特的脾气，有时候脾气火爆，有时候温吞如水，但甭管脾气如何，它们之间都绕着一种看不见的定律转。 起初登场的是垂心。在几何世界里，垂心是最“飘”的那个。
要是把三角形的三条高延长，它们会在三角形内部要么外部相交于一点，这个点就叫垂心。它的脾气比较特别，有时候高是射向对面的腰，有时候是高是射向对面脚的，有时候就连得把高往回拉，让它穿过对边。垂心的位置彻底取决于那三根“高”的长短和角度。有的三角形顶尖，垂心就在上面；有的三角形矮胖，垂心就在底下；还有的倒三角，垂心就在外面。 再看内心，它是“最稳”的那个点。内心就是角平分线的交点，也是三角形面积最小的那个点。想象一下如何把一块肉切得最小，那肯定是把每一块的角平分线都切到底，最终剩下的那个小块，就是内心。它是三角形“最中性”的状态。
不管三角形是正三角形、等腰三角形还是一般/平平三角形，内心的位置一般都不乱，它一直乖乖地住在那个最圆滑的点上。 眉心的故事比较费解。它不是通过高要么角平分线来的，它是从顶点出发，把对边三等分点连线，再找到这两条线的交点。
这个点叫外心吗？不，外心负责连边的中点。而眉心，是两条中线的“分岔口”。中线把三角形分成了面积相等的两半，而眉心则是这两半“分权”的节点。
有时候中线交点成了外心，有时候成了内心，有时候干脆成了外心和内心挤在一起的一个点，这取决于三角形的形状。 内心和外心最好办打架。
要是三角形的角比较大，比如两个锐角加起来超过 90 度，心可能跑到外面去；要是角比较小，心可能跑进去。
这时候，内心和外心之间的距离，往往能揭示出三角形某种特殊的性质，比如等腰要么等边。 最终那颗心叫九心交点，要么更准地说是重心、垂心、外心、内心、还有那几条特殊线段的交汇点。
这五心连在一起的线，叫五心连线。它们不是一条直线，而是五个点围成的一个图形。
这个图形的面积，比整个三角形大，也比五心连线围成的内部多出来一块。
这块多出来的区域，面积等于三角形面积的 1/3。 举个例子，拿一个等腰直角三角形来算。假设直角边是 4 米，斜边就是 4 倍勾股定理算出来的，是 4 乘以根号 2，大约 5.66 米。
这个三角形的内心，就是角平分线的交点，出于它等腰，故此内心就在底边上。它的距离到底边是斜边长度的一半，也就是大约 2.83 米。内心到斜边的距离，也是 2.83 米。 再看外心。外心是夹角的角平分线交点。在这个等腰直角三角形里，外心就是直角顶点。它到三个顶点的距离都是斜边的一半，也就是 2.83 米。
故此内心和外心，在这个例子里距离恰好是 2.83 米。 再看看重心。重心是三条中线交点，它把中线分成 2：1 的比。重心到顶点的距离，是总长度的 2/3。而重心到对边的距离，叫垂心距，是总高度的 1/3。
这个距离正好是内心到对边距离的 2 倍。 实际上，五心定理的核心不在于记住那五个名字，而在于理解那五条线。五心连线，实际上就是平行线系的难题。你能够画一组平行线，让三角形每边的中点在这条线上，要么让三边的垂足在这条线上。
这条线上的五个点，一辈子和三角形的五个特殊顶点，保持着某种距离关系。 有时候你会发现，五心连线围成的图形，面积确实是三角形面积的 1/3。
要是你拿一个正三角形，把你所有的五心都标上，你会发现五个点连起来，那个大框的面积，正好是正三角形面积的三分之一。
这听起来有点怪怪的，反正大局部时候都是三角形面积啊。但这恰恰是数学的幽默所在，有时候结局就是反直觉的。 回到原点，三角形的五心，实际上是三条高、三条中线、三内角平分线这九条线在平面上的交点分布。它们像五颗卫星，围着那个小小的三角形在各自轨道上运行。垂心有时候是外行星，内心是内行星，而五心连线则是它们的中继带。 没有绝对的哪位主哪位次。垂心可能高，也可能低；内心可能弓着背，也可能缩着肚。五心定理的意义，不在于它们务必重合，而在于它们把整个几何空间分割成了不同的空间域。当我们看一个三角形时，不只是看它的形状，还要看它的心在哪儿，心在哪儿拍板了一切。 有时候你就连会在书上看到“五心定理”四个字，认定它像个累赘。但仔细想想，五条线多了，难题就多了。垂心线、中线线、角平分线线，再加上五心连线，这些线把平面分成了 10 个区域。
这是几何分割最有趣的玩法之一。你能够用五心连线围成的区域，去夹住三角形，要么去包围三角形。 最终，回到那个等腰直角三角形的例子。
那个直角顶点就是外心，它挺干脆地坐在了直角上。而内心，它躲在底边上，离直角顶点挺近。五心连线，构成了一个围绕中心的圈。
这个圈，面积大约是三角形面积的 1/3。
这 1/3 是如何来的？实际上是出于那 5 条线，每条线负责截断一局部三角形区域。垂心截断一局部，内心截断一局部，重心截断一局部……加起来，正好分出了那个 1/3 的区域。 五心定理，本质上是一种关于平衡的哲学。三角形拥有五个中心点，这五个点并不冲突，它们只是在不同维度上寻找平衡。有些点偏向顶点，有些点偏向边，有些点偏向角。五心连线，就是它们之间距离的度量。在数学的世界里，这种距离，就是真理。