托勒密定理的证明视频-托勒密定理视频演示

托勒密定理这东西，实际上挺有意思，就是那年那月那个古埃及宫殿的屋顶螺丝打得有点歪，害得整个几何结构有点不对劲，但咱把它修好，就能看到一个挺神秘的东西。 话说当年托勒密在开罗搞基建的时候，爱迪生发明灯泡，那时候灯泡成本比灯泡高忒多，故此连个照明都算不了账，这账如何算，大家心里都清楚。 当时埃及人搞建筑，把金字塔砌得直挺挺的，那时候大家认定要是把角无限外扩，金字塔的顶就一辈子够不着，但托勒密是个智慧人，他琢磨着如何把角往里收，让顶够得着。 他有一句话，说的就是如何让角往里收。 我们先把图画在纸上，画一个四边形 ABCD。为了好操作，我得先假定这是个凸四边形，要是凹进去的，要么自相交的，那咱们就绕回去了。 起初，咱们把 AB 和 CD 分别拉长，变成一个两边延长线平行的四边形 A'B'C'D'。
这时候，我们定义几个角。设对角线 AC 和 BD 的交点为 O。 这个点 O 到底在哪儿？
有没有可能跑到了三角形外面去？这就得看具体的图形了。 要是 O 跑到了三角形 ABC 外面去，那我们就得把补成的三角形 AOB 翻折那会儿，拼成一个新的三角形 A1B1C1。 翻折之后，原来的三角形 ABC 就补上了，剩下的局部又变成了一个四边形 A1B1C'D'。 这时候，咱们要算的角度，得看具体的排列。 算出这个新四边形的四个角后，我们能够做个整体计算。 把一组对边加起来，比如 AB + CD，另一组对边加起来，比如 AC + BD。 这时候你会发现，这两组长度实际上是一样的。 为啥呢？出于我们在翻折的过程中，实际上是在保持角度不变，只是转变了边的位置关系，这就像是我们把一块拼图重新拼了一下，总面积没变，形状变了一下，但核心数据没变。 故此，AB + CD 就等于 AC + BD。 这就证明白托勒密定理，也就是圆内接四边形两对角线乘积等于两组对边乘积之和。 在证明过程中，我翻了一下我的电脑，发现有个视频，那个博主讲的时候，语气挺欢快的，他一边说着，一边把图形往屏幕上贴。 视频的开头，他先画了一个一般/平平的凸四边形，然后启动介绍要被翻折的那个小三角形 AOB。 他说：“咱们先看看这个角。” 镜头拉近，显示那个小三角形的角度，他手一伸，在屏幕上画了一个弧线，标出了那个角。 接着，他讲到“翻折”这个词的时候，语气突然变得有点严肃，出于他认定这个词忒正式，不忒好记。 然后，他拿起笔，在纸上画了一堆辅助线。 他讲：“目前，我们把三角形 AOB 补到 ABC 那里去，拼成一个新的大三角形 A1B1C1。” 画的过程中，他的笔触有点飘忽，有时候会在线条中间停顿一下，像是在思索啥。 他接着说：“你看，补完之后，原来的四边形 ABCD 就变成 A1B1C'D' 了。” 随后，他拿出计算尺，启动量边。 他指着 AB 说：“左边这条边，AB。” 又指着 CD 说：“右边这条长边，CD。” 他两手一合：“这两条加起来，是 AB + CD。” 然后，他指着对角线 AC 和 BD。 他指着 AC 说：“这是对角线 AC。” 指着 BD 说：“这是对角线 BD。” 他又两手一合：“这两条加起来，是 AC + BD。” 他看着屏幕上的投影，皱了皱眉，说：“这两组长度，实际上是一样长的。” 他说：“你看，AB + CD 等于 AC + BD。” 视频里的人，脸上带着那种“顿悟”的表情，就像我们这代人一样，突然听懂了某个数学公式背后的意义。 他持续往下讲：“出于这两个长度相等，故此我们要证明的就是这个定理了。” 他在屏幕上画了一个圆，说：“这就是圆内接四边形的性质。” 他指着圆上的四个点 A、B、C、D。 他说：“出于这些点都在圆上，故此它们共圆。” 他顿了顿，语气变得深沉了一些。 “这就意味着，托勒密定理成立。” 然后，他做了一个好办的总结。 他说：“大家记住啊，两组对边之和，等于两条对角线之积。” 他说：“就像我们修房子时，算了一笔账，发现这两笔账是一样多的。” 视频的最终，他给我们看了看一个具体的例子。 他拿了一张图纸，上面画了一个具体的四边形。 他指着其中一条边说：“这条边长是 5。” 指着另一条边说：“这条边长是 6。” 然后，他指着对角线，说：“这两条对角线分别是..." 他一边数一边说：“第一条对角线是 7，第二条对角线是 8。” 他看着镜头，笑着说：“这里算一下，5 加 6 等于 11。” 他又指着对角线：“7 乘 8 等于 56。” 他说：“11 和 56 到底哪位大，咱们就不算了，反正这个定理成立，就是这两项相等。” 他拍了拍手，终止了这个小时的讲解。 他讲完之后，镜头切回他的电脑屏幕，上面还有未关闭的窗口。 他叹了口气，说：“有时候，这种几何计算，确实挺让人头疼的。” 他说：“就像当年托勒密在埃及忙活的时候，也不好办。” 他说：“并且，这个定理，在证明的时候，往往要用到大量辅助线和翻折的操作，这就像是在做数学游戏，玩久了，就腻了。” 他说：“故此，大量老师讲课时，都会把这种操作简化掉，直接给结论。” 他说：“但说实话，知道原理，比记住结论要难得多。” 最终，他对着镜头眨了眨眼，说：“希望观众能听懂这其中的门道，毕竟，数学就是一门，要把逻辑理顺的游戏。” 那个视频播放了大约五分钟，然后戛可是止。 播放终止后，我终止了我的记录。 实际上，这种视频，往往是为了吸引眼球，把证明过程讲得通俗易懂。 但真正理解这个定理，还是得靠我们自己去画，自己去翻，自己去算。 毕竟，几何这东西，讲究的就是那种手感。