切割线定理证明图文-切割线定理证明图文

切割线定理：把几何画成一条线，再切两刀看结局 拿把小刀，在圆上随意切两口，要是切出的弧长相等，再拿根弦把两头连起来，这中间那段弦，它到圆心的距离，跟切线到圆心的距离，原来是一样高的。
这不是玄学，这是切割线定理的原始模样。 先说图。画个圆，再画两条从同一个点出发的线段，一条是直线，一条是曲线。直线那端切圆，曲线那端也是切圆。
这两条线在内部有个交点，把那条直线分成了两段。
要是在两条曲线之间、交点那两头补出一段弦，这段弦切到交点本身。
这时候你会发现，那段弦到交点的距离，跟那条外部直线切点，到交点的距离，竟然彻底一样。 这就好比你筑坝，左边那道堤坝从水底一直修到水面，右边那道堤坝也是从水底修到水面。
要是你用一根绳子把这两道堤坝的另一端捆在一起，那根绳子中间被拉直的局部，长度跟外部那截水面的长度是一样。
这就是定值。 为啥如此说？出于圆是个等距变换的家。任何一条过圆上一点的切线，看看它的几何中心。
要是把圆拉扁拉长，再翻转翻面，切线那端的位置一辈子不变。
故此交点 P 是“不动点”。 那外部的那条线呢？它实际上由两段组成。一段是弦 AB，一段是切线 CD。弦 AB 被交点 P 分成了 PA 和 PB。切线 CD 被交点 P 分成了 PC 和 PD。定理说 PC = PD。
这意味着啥？意味着 P 是线段 CD 的中点。 故此这个定理的本质是：从圆外一点引两条线段，一条是弦，一条是切线，它们内部被分成两段，这段弦的两段，跟切线的那两段，是等距的。 为了验证这玩意儿是不是真能求出来，咱拿个例子来算。 假设圆半径 R 等于 5。
然后定个点 A，在这个点 A 往圆外画一条切线，切点叫 B。再往同一方向画一条弦，弦的另一端叫 C。假设弦 AC 跟切线 AB 垂直。 这时候，切线 AB 的长度如何算？勾股定理。直角三角形 ABC 里，AC 是斜边，BC 是半径 5。
要是设 AC 的长度为 x，那 AB 就是根号下(x^2 - 25)。 再画另一条线，从 A 点引弦 AD。
这时候就不好说了，出于不知道角多少。但我们能够换个思路。 割线定理的推导过程实际上挺像折纸的。想象你有一张纸条，折了一个角，纸条在圆里的局部就是切线。纸条出来的局部跟纸条折进去的局部，长度肯定是一样。出于圆是轴对称的，过圆外一点引切线，切线长度本身就是定值。 目前把难题简化一点。设圆半径 r，圆外一点 P 到圆心的距离为 d。从 P 点引切线，切点为 T。切线 PT 的长度平方，等于 r 乘以下式子 (d^2 - r^2)。 接下来画一条弦 AB，交外接圆于 A、B。连接 PA、PB。 根据切割线定理，PT^2 = PA PA + PB PB ？不对，是 PT^2 = PA PB？不是，是 PT^2 = PA (PA + AB)？也不是。 啊，得理清楚。公式是 PT^2 = PA PB。
这里的 PA 和 PB 是割线 PA、PB 被交点 P 分成的两段。 故此关键就在于：割线 PA、PB 的两段，跟切线 PT 的两段，是等距的。 咱来算个具体的数值。设 R = 3。P 点在圆外，距离圆心 5。
那切线长 PT^2 = 3^2 (5^2 - 3^2) = 9 16 = 144。
故此 PT = 12。 目前画弦 AB，交圆于 A、B。连接 PA、PB。 要是假设 A、B 把圆分成了三等份，那么 PA 和 PB 的长度能够用正弦定理算一下。在圆内接三角形 PAT 中，角 PAT 是圆心角的一半，15 度。用余弦定理算 PA。 cos 15 度大约是 0.9659。PA = sqrt(3^2 + 5^2 - 235cos15) = sqrt(9+25-300.9659) = sqrt(34-28.977) = sqrt(5.023) ≈ 2.24。 同样，PB 也约等于 2.24。 这时候看 PT，它是 12。
要是 PA PB = 2.24 2.24 ≈ 5.02。 什么的，这跟 144 不一样啊。说明假设错了。 那换个假设。让弦 AB 经过圆心，也就是直径。
那 A、B 把圆分成了两半。PA 和 PB 的长度如何算？ 设圆半径 R=3，圆心 O。P 在 O 左边 5 的位置。PA 是半径 3。PB 也是半径 3。 那 PA PB = 3 3 = 9。 这时候切线长 PT 应当是多少？PT^2 = 3^2 (5^2 - 3^2) = 144。 9 不等于 144。
哪儿出错了？ 哦，我看错公式了。切割线定理的公式是 PT^2 = PA PB 吗？不对，这是割线定理。切割线定理是 PT^2 = PA (PA + AB) ？也不是。 对的切割线定理结论是：切线长的平方，等于割线长（从交点到另一个交点）乘以另一段割线（从交点到前一个交点）？ 不对，标准说法是：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长的平方，等于割线全长乘以割线圆外局部。 即：PT^2 = PA (PB)，这里的 PB 是整条割线长，PA 是圆外局部。 那刚刚的例子，要是 PA = 3，PB = 6。
那 PT^2 = 3 6 = 18。 那之前的计算哪儿错了？ 啊，原来 P 点在圆内？不对，题目说 P 在圆外。
要是 P 在圆外，PA 和 PB 都是圆外局部。 要是割线 AB 过圆心，那么 PA = R = 3。PB 呢？P 到 B 的距离。P 坐标 (-5, 0)，B 坐标右边 3 个单位，比如 (2, 0)。
那 PB = 7。 那 PT^2 = 3 7 = 21。 那切线长 PT 应当是 sqrt(21)。 而之前的公式 PT^2 = 3^2 (5^2 - 3^2) = 9 16 = 144。 这两个结局 21 和 144 彻底对不上。说明我刚刚那个“切线长平方等于 144"的推导哪儿有点乱。 重新梳理一下标准公式。 设圆半径为 r，圆外一点 P 到圆心的距离为 d。切线长为 t。 那么 t^2 = d^2 - r^2。
这是勾股定理直接得出的，没错。 目前画一条割线 PAB，交圆于 A、B。 根据切割线定理，t^2 = PA PB。 这里的 PA 和 PB 是 P 到 A、P 到 B 的距离。 要是 P 在 (-d, 0)，圆在 (0,0) 到 (r, 0) 之间。 要是割线 AB 是水平的，交圆于 A(r, 0), B(r, 0)？不对，直径是 (-r, 0) 到 (r, 0)。 设 P(-d, 0)。圆上一点 A(x1, y1)。B(x2, y2) 也在圆上。 要是割线是直径，那么 A 是 (-r, 0)，B 是 (r, 0)。 PA 的距离是 |-d - (-r)| = |r - d|。出于 d > r，故此是 d - r。 PB 的距离是 |r - (-d)| = d + r。 那 PA PB = (d - r)(d + r) = d^2 - r^2。 而切线长 t = sqrt(d^2 - r^2)。 故此 t^2 = PA PB。 这就对了！ 刚刚我算错了 PA 和 PB 的长度。 P(-5, 0)，R=3。 直径端点 A(-3, 0), B(3, 0)。 PA 距离 = |-5 - (-3)| = 2。 PB 距离 = |-5 - 3| = 8。 PA PB = 2 8 = 16。 t^2 = 16。 t = 4。 而之前的公式 t^2 = 3^2 (5^2 - 3^2) = 9 16 = 144。
这如何推导不对？ 哦，那个公式 t^2 = r (d^2 - r^2) 是错的。 对的推导是：三角形 PAB 中，角 APB 是圆周角，等于圆心角的一半。 要么用坐标法。 设 P(-d, 0)。A(x, y)。 PA^2 = (x+d)^2 + y^2。 出于 x^2 + y^2 = r^2，故此 y^2 = r^2 - x^2。 PA^2 = x^2 + 2dx + d^2 + r^2 - x^2 = 2dx + d^2 + r^2。 同理 PB^2 = 2dx - d^2 + r^2。 这样算忒费事。直接用之前的几何关系。 在圆内接三角形 PAB 中，角 APB 是圆心角 APB 的一半。 设圆心角为 2a。则圆周角为 a。 由余弦定理，PA^2 = R^2 + d^2 - 2Rd cos(2a)。 PB^2 = R^2 + d^2 - 2Rd cos(-2a) = R^2 + d^2 - 2Rd cos(2a)。 故此 PA^2 = PB^2。 这说明 PA = PB？不对，只有当弦 AB 垂直于 OP 时才对。 啊，我搞混了。割线定理是 PT^2 = PA PB。 其中 PA 和 PB 是 P 到两个交点的距离。 至于这两个距离的具体数值，取决于弦的位置。 故此，这个定理的核心结论就是：从圆外一点引出切线，和从该点引出的过该点的任意弦，切线长度的平方，等于该弦被该点分成的两段（P 到远端交点，P 到近端交点）的乘积。 为了证明这个结论，我们用反证法要么坐标变换。 假设结论不成立。即 PT^2 != PA PB。 但圆是个等距变换体。
要是你把圆拉扁，再翻转，P 点不动，切线不动，那么弦 AB 扫过的区域，其内部结构也是不变的。 故此 PA PB 这个值，对于所有过 P 的弦都是定值。 而切线 PT 长度也是定值。 故此要是它们不相等，这就矛盾了。 既然 PA PB 是定值，而 PT 也是定值，那自然相等。 这就解释了为啥切割线定理如此神奇。出于所有的弦，只要过同一个点 P，它们被 P 分成的两段，长度乘积一辈子是一样。而这个乘积，恰好等于切线的平方。 这就好比射箭。圆心是靶心。P 点往前拉你的手。弦 AB 扫过的区域，里面包含了大量小段。每一段都是圆的一局部。
这些小段拼起来，总长度就是 PA PB。 而切线 PT，就是直接从 P 点切进去。 出于圆是均匀分布的，故此切线长，就等于所有经过 P 的弦在 P 点处被分割后，那一小段和那一小段（实际上是无穷小段）乘积的极限。 故此 PT^2 = PA PB。 这就证明白。 最终再总结一下。 切割线定理的几何直观是：过圆外一点引的切线，其长度平方，等于该点所引割线，被切点和另一交点分成的两段，长度之积。 数学本质是圆作为等距变换的不变性，使得过定点的弦，其分割比是定值。 这个定理在解析几何里，就是圆锥曲线的一个根本性质，也是解析几何里“点线关系”最漂亮的体现。 故此，下次再看题目，要是给了一个圆外一点，切线和弦，你就知道答案了。切线平方等于，割线长乘以割线近端长。 这就够了。几何题，有时候不用背公式，只看图，就知道结局了。