高中数学韦达定理-高中数学韦达定理｜从原理到实战的深度解析

韦达定理核心关系式

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ · x₂ = c/a

展开过程

a(x - x₁)(x - x₂) = a[x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂]

= ax² - a(x₁+x₂)x + a x₁x₂

解题步骤

思路：由零点分布转化为不等式组，结合韦达定理优化。

设 f(x) = x² + ax + b，开口向上，零点 x₁,x₂ ∈ (0,1) ∩ (1,2)

则：

f(0) = b > 0

f(1) = 1 + a + b < 0

f(2) = 4 + 2a + b > 0

目标：求 3a + b 的范围

令 z = 3a + b，则 b = z - 3a，代入不等式：

z - 3a > 0 ⇒ z > 3a

+ a + z - 3a < 0 ⇒ z < 2a - 1

+ 2a + z - 3a > 0 ⇒ z > a - 4

即：max(3a, a-4) < z < 2a - 1

还需保证 0 < x₁ < 1 < x₂ < 2，即：

x₁ + x₂ = -a ∈ (1,3) ⇒ a ∈ (-3,-1)

x₁x₂ = b > 0 ⇒ z - 3a > 0

在 a ∈ (-3,-1) 下，分析 z 的上下界：

下界：3a < a-4？当 a < -2 时成立；a > -2 时，a-4 < 3a

故分段讨论，最终得 z ∈ (-5, -1)

答案：(-5, -1)

第(2)问解析

由(1)得 p=2，C: y²=4x，焦点 F(1,0)

设直线 l: x = my + 1（避免斜率不存在），代入 y²=4x：

y² = 4(my + 1) ⇒ y² - 4my - 4 = 0

设 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，则：

y₁ + y₂ = 4m, y₁y₂ = -4

点 M(2,2)，则：

k₁ = (y₁ - 2)/(x₁ - 2), k₂ = (y₂ - 2)/(x₂ - 2)

注意 x₁ = y₁²/4, x₂ = y₂²/4，故：

x₁ - 2 = (y₁² - 8)/4, x₂ - 2 = (y₂² - 8)/4

所以：

/k₁ = (x₁ - 2)/(y₁ - 2) = [(y₁² - 8)/4]/(y₁ - 2) = (y₁² - 8)/[4(y₁ - 2)]

因式分解 y₁² - 8 = (y₁ - 2)(y₁ + 2) - 4，不直接约分。改用代数恒等变形：

y₁² - 8 = y₁² - 4y₁ + 4y₁ - 8 = (y₁-2)² + 4(y₁-2)

故：

/k₁ = [(y₁-2)² + 4(y₁-2)] / [4(y₁-2)] = (y₁-2)/4 + 1 = y₁/4 - 1/2 + 1 = y₁/4 + 1/2

同理：1/k₂ = y₂/4 + 1/2

所以：

/k₁ + 1/k₂ = (y₁ + y₂)/4 + 1 = (4m)/4 + 1 = m + 1

咦？含 m，非定值？

【陷阱题】若方程 x² + 2kx + k² + k = 0 的两实根之积为 2，求 k。

学生常见解法：

由韦达定理：x₁x₂ = k² + k = 2 ⇒ k² + k - 2 = 0 ⇒ k=1 或 k=-2

错误！未验证 Δ≥0！

Δ = (2k)² - 4(k² + k) = 4k² - 4k² - 4k = -4k ≥ 0 ⇒ k ≤ 0

故 k=1 舍去，仅 k=-2 符合。

答案：k = -2