反函数的存在定理 · 反函数定理

? 反函数存在定理

大量时候我们试图把 ln(2) 算出来，结局发现 2^x 的原函数就是 ln(x)。这看似好办，背后实际上是拉格朗日中值定理在起功能。定理保证了只要函数连续且单调，那么它的逆函数一定是连续且单调的。

举个最好办的例子，寻思函数 f(x) = x³。这个函数从负无穷到正无穷，是经典的单调递增函数。既然它单调，咱们就能够大胆地构造它的反函数 f⁻¹(x)。如何构造呢？就是解出 x。也就是 x = ∛y，要么直接写成 t = y³ 的逆，就是 y = t^(1/3)。你看，输入变成了输出，输出变成了输入，这事儿就通了。

? 定义域 & 值域互换

在处理更复杂的函数时，比如 f(x) = eˣ，我们求它的反函数，就是解 x = ln(y)。这里有个关键点，就是定义域。eˣ 的值域是 (0, +∞)，故此它的反函数的定义域也是这个。要是直接硬套公式，可能会有点让人头大，但道理挺好办：你务必保证函数是一一对应的。

这就引出了定义域和值域的关系。做反函数时，你实际上是在换这两个集合。原函数的定义域变成了新函数的值域，原函数的值域变成了新函数的定义域。要是是 f(x) = √x，那么它的反函数就是 y = x² (x ≥ 0)。原来的非负数目前变成了平方数，原来的平方数目前变成了非负数。

• 原函数定义域 → 反函数值域
• 原函数值域 → 反函数定义域
• 必须严格单调才能保证一一映射

? 反函数求导法则

要是 y = f⁻¹(x)，那么 x = f(y)。要对 y 求导，就能够拿 x 对 y 求导，然后求下来倒过来。也就是 dy/dx = 1 / (df/dy)。这个公式看起来略微有点绕，但本质就是反函数求导法则。要是你原函数导数不为 0，那反函数导数肯定存有且不为 0。

实际上反函数求导还有个特殊点，就是二阶导数。要是原函数 f(x) 的二阶导数 f''(x) 存有，那么它的反函数 y = f⁻¹(x) 在对应点处的二阶导数就是 − 1/[f'(x)]³ · f''(x)。这个公式看起来复杂，但能让我们意识到，反函数不仅要是连续的，还得光滑。要是原函数在某点导数为 0，那么反函数在该点就不光滑了，就连可能不可导。

? 单调性与一一映射

大量时候我们脑子里藏着原函数的模样，比如知道 y = x²，只要把 x 换成 x²，x 换成 y，那就拿到了 x = y²，定义域和值域自然就互换了。这比直接求导再反函数更直观一些。比如 f(x)=x²，定义域是 [0,∞)，那 f⁻¹(y) 的定义域就是 [0,∞)，值域就是 [0,∞)。

在实际应用中，这个定理大量时候救急。比如做微积分练习时，遇到一些复杂的指数方程，直接解起来忒累，但要是你能先在脑海中把方程变形，凑成一个复合形式，要么用换元法，最终再对照原函数的单调性判断是否存有反函数，那整个过程就能大大加快。

? 复合函数的反函数

要是函数 g(x) 的反函数是 f⁻¹(x)，那 f(g(x)) = k 的解法中，往往能挖出 f⁻¹(x) 的表达式。比如解方程 e^{2x} - 2 = 0，直接拿 e^{2x} 是两步，但换成 u = 2x，然后 u = ln(u+2)，这实际上就是利用了 eˣ 的反函数是 ln x 的性质。

这个技巧在简化运算量上非常实用，尤其当内层函数单调且可逆时。