有限覆盖定理 凸函数-有限覆盖凸函数

数学界的礼物，往往披着最华美的外衣，送来的时候却自带一堆让人挠头的赠品。有限覆盖定理，就是那个传说中让研究生们抓狂的赠品之一。 想象一下，你手里有一张画满图形的纸，上面密密麻麻地写满了密密麻麻的箭头，指向前面的那个点。
这纸就是整个函数 $f$ 的定义域，那些箭头就是箭头函数，指的事件就是函数在每一点的值。目前，你要在这个无限延伸的平面上，找到一个完美的矩形框，把这整个箭头海洋统统装进去。
这听起来好办得就像当年找一位愿意为你煮面的人，只要说一声“请给我点个外卖”，外卖员立马就会骑着电驴出现。 可是，现实是残酷的。
这个纸，也就是闭区间 $[a, b]$，是你手里的唯一道具。在这个道具上，并没有现成的画框。你得从 $a$ 启动画，直到碰到箭头；接着从箭头值最小那个点启动画，直到碰到下一个箭头。你不断地画，不断地写，直到你的笔尖触碰到了某个点，要么，直到哪位看你一眼，把你手里的纸扔了。 这就是有限覆盖定理的现场直播，也是无数学生还在半夜三点盯着黑板发呆的现场直播。 这个定理的核心，实际上就是说：甭管图画得有多难看，只要这张图是连续的，那么总有一个小玩意儿，能把整张图稳稳地塞进去。
这个小玩意儿，就是能够套进 $[a, b]$ 里的闭区间列。 举个具体的例子，你不用管具体的数值，也不用管复杂的坐标轴，就只看图。你手里有个函数，定义域就是 $[0, 1]$。你在每个点上都写了个箭头，箭头指向前面。
这张图有无限个箭头，有无限个点。目前，你要求你在 $[0, 1]$ 这个框里，找到一个可数的闭区间列 $I_n$。
这个列 $I_n$ 务必知足两个条件：第一个，$I_n$ 务必能套进母框 $[0, 1]$；第二个，它务必能“盯住”所有的箭头。 啥意思呢？要是再加上第二个条件，你就发现，这个函数在 $[0, 1]$ 上连续，其上的箭头，最终一定是被你这列 $I_n$ 盯住的。 为啥？出于函数在每一点都有值，而在每一个点附近，总有一段区间，函数在这段区间上的图像，都在你选中的那个区间 $I_n$ 的“心跳”里。
也就是说，这段图像，要么彻底落在 $I_n$ 内部，要么彻底落在 $I_n$ 的旁边。 这就好比你在平面上画了一张网。
这张网，由无数个水平的线段和垂直的线段组成，它们交织在一起，形成了一个密密麻麻的立方体。网上的每一个点，都有无数个水平线段从它下面穿过。目前，你只准你用 $n$ 条线段来切割这个网。 这就形成了。当你用 $n$ 条线段去切割这个网时，你会发现，网上的每一个点，最终都会落入某一条水平线里。
也就是说，网上所有的点，最终都会被这些水平线“覆盖”住。 为啥？出于网是连续的。网上任意两点之间，都有一段连续的路径，这段路径上的图像，总有一局部落在了你选的那几条水平线里。 这就相当于说，这张图上的每一个点，最终都会落入这个有限覆盖列的某个区间里。 这个结论听起来忒美好了，简直是对数学的终极赞美。 可是，这张图，也就是闭区间 $[a, b]$，是你手里的唯一道具。在这个道具上，并没有现成的画框。你得从 $a$ 启动画，直到碰到箭头；接着从箭头值最小那个点启动画，直到碰到下一个箭头。你不断地画，不断地写，直到你的笔尖触碰到了某个点，要么，直到哪位看你一眼，把你手里的纸扔了。 这就是有限覆盖定理的现场直播，也是无数学生还在半夜三点盯着黑板发呆的现场直播。 这个定理的核心，实际上就是说：甭管图画得有多难看，只要这张图是连续的，那么总有一个小玩意儿，能把整张图稳稳地塞进去。
这个小玩意儿，就是能够套进 $[a, b]$ 里的闭区间列。 举个具体的例子，你不用管具体的数值，也不用管复杂的坐标轴，就只看图。你手里有个函数，定义域就是 $[0, 1]$。你在每个点上都写了个箭头，箭头指向前面。
这张图有无限个箭头，有无限个点。目前，你要求你在 $[0, 1]$ 这个框里，找到一个可数的闭区间列 $I_n$。
这个列 $I_n$ 务必知足两个条件：第一个，$I_n$ 务必能套进母框 $[0, 1]$；第二个，它务必能“盯住”所有的箭头。 啥意思呢？要是再加上第二个条件，你就发现，这个函数在 $[0, 1]$ 上连续，其上的箭头，最终一定是被你这列 $I_n$ 盯住的。 为啥？出于函数在每一点都有值，而在每一个点附近，总有一段区间，函数在这段区间上的图像，都在你选中的那个区间 $I_n$ 的“心跳”里。
也就是说，这段图像，要么彻底落在 $I_n$ 内部，要么彻底落在 $I_n$ 的旁边。 这就好比你在平面上画了一张网。
这张网，由无数个水平的线段和垂直的线段组成，它们交织在一起，形成了一个密密麻麻的立方体。网上的每一个点，都有无数个水平线段从它下面穿过。目前，你只准你用 $n$ 条线段来切割这个网。 这就形成了。当你用 $n$ 条线段去切割这个网时，你会发现，网上的每一个点，最终都会落入某一条水平线里。
也就是说，网上所有的点，最终都会被这些水平线“覆盖”住。 为啥？出于网是连续的。网上任意两点之间，都有一段连续的路径，这段路径上的图像，总有一局部落在了你选的那几条水平线里。 这就相当于说，这张图上的每一个点，最终都会落入这个有限覆盖列的某个区间里。 这个结论听起来忒美好了，简直是对数学的终极赞美。 可是，这张图，也就是闭区间 $[a, b]$，是你手里的唯一道具。在这个道具上，并没有现成的画框。你得从 $a$ 启动画，直到碰到箭头；接着从箭头值最小那个点启动画，直到碰到下一个箭头。你不断地画，不断地写，直到你的笔尖触碰到了某个点，要么，直到哪位看你一眼，把你手里的纸扔了。