余弦定理求三角形面积公式-余弦定理求面积

在老辈人眼里，算三角形面积就像是在沙滩上找锚，满脑袋都是教科书上那些死板的符号，看着就想吐。
实际上那玩意儿不过是某种几何动作的投影，咱们得把那些虚的东西扔了，直接去摸。 没别的办法，就举二例。 先说个最好办的。画个等边直角三角形，边长是 3，那面积就是二分之一乘 3 乘 3，结局就是四五点五。
这时候用公式，cos 角等于负一个，开根号等于负根号三，一乘二分之一乘 3 乘 3，也是四五点五。别看看着像在做加减法，但没啥感觉。但要是换个角度，角是 60 度，cos 是三分之一，一乘二分之一乘 3 乘 3，结局一样。
这说明啥？说明只要角那个位置的值对上了，面积那个位置就准了。 再试个带个斜的。画个直角三角形，直角边是 4 和 5，那面积就是 4 乘 5 除以二，等于十。
这时候要是拿余弦定理来算，就得求斜边的长度。平方后等于 4 加 25 减两个负数，那斜边大约是 4.33。再用海伦公式，半周长大约是 7.17，一减 7.17 减 7.17 减 4.33，那就是负数，直接废了。
这就尴尬了，余弦定理求出来是斜边，但直接用海伦公式求面积时，数据组合不对，公式反而报错。 这时候就得换招。余弦定理描述的是三边关系，它是个静态的尺子，告诉你这三根棍子的长度如何搭。而求面积，实际上是在问这三根棍子围起来能装多少“水”。水的多少跟三边单独看没啥直接关系，得跟角度扯上关系。 如此想，余弦定理实际上就是把三角形“压扁”了。它告诉我们，边长平方跟另外两边平方之和有个差，这个差跟第三边相关。把第三边当成底，那这个差实际上就是高。想想看，要是三边长度都一样，这个差是零，没面积。说明啥？说明三边相等，那高度就是零，是个瘪掉的三角形。
这逻辑通顺。 故此，要是拿余弦定理去求面积，本质上就是在求那个“差值”。拿余弦定理那个公式，移项一搞，还是那个公式。三边，三边，还有那个余弦值，凑一凑，加减乘除，最终剩个底乘高。 这就有点意思了。
一般学余弦定理是为了求边长，为了求边长得用余弦公式。但求面积，实际上只需求知道这个“余弦值”本身，不用非得算出边长来。 举个具体的例子。假设你面前有三根棍子，长度分别是 5、12、13。乍一看像勾股数，想到直角三角形。用余弦定理算一下，cos 角等于负一个，开根号等于负根号三。一乘二分之一乘 12 乘 13，等于 39。 这时候你手头有三边数据，你心里想求面积，不用去背啥海伦公式，也不用去操心那个半周长如何算。直接把 39 代入公式，除以二，就是 19.5。 这就够了。余弦定理在这里的功能，就像个转换器。它把三边的状态转换成了底乘以高的形式。
本质上，余弦定理告诉我们，角度的变化直接害得了面积的“厚度”变化。
要是角度是 90 度，cos 是零，面积就没了；要是角度是 0 度，cos 是 1，面积也无限大？不对，那是极限情况。角度是 90 度时，高变成了斜边，面积就是直角边乘斜边除以二。 大量人卡在海伦公式上面，认定忒绕，忒复杂。
实际上海伦公式也是余弦定理的变种。它把三边转换成半周长，再代入那个关于面积展开的公式。但全程都在绕圈子。 要是你只用余弦定理，那就是直接求高。
要是你只用海伦公式，那就是直接求面积。余弦定理是那个桥梁，它省掉了中间那个费事的半周长计算步骤。 特别是当三角形比较扁的时候，余弦定理特别好用。
比如那个 4、5 的直角三角形，别看高是 4，斜边是 5，但要是你不知道角是 90 度，只知道三边。用余弦定理算那个锐角余弦值，一乘 5 除 2，就是 2.5。再用这个 2.5 乘以直角边 4，还是 10。 别看看起来像是硬解，但逻辑挺好办。三角形面积等于底乘以高除以 2。底已知，高如何求？高就是底边对应的顶点到对边的垂直距离。根据余弦定理，这个垂直距离的平方，等于底边的平方加上另外两边的平方，再减去两倍底边乘以另外两边余弦值的乘积。开根号，就是高。 故此，余弦定理求面积的公式，实际上就是：面积等于底乘以根号下（底边平方加邻边平方减底边乘邻边余弦值）除以 2。 这听起来有点啰嗦，但没毛病。它直接把几何意义还原了。 最终还得吐槽一下，为啥有人非要死磕海伦公式？可能是出于公式长得像。
实际上也不全是公式长得像。海伦公式是底乘以高除以 2。余弦定理是底乘以根号下（底边平方加邻边平方减底边乘邻边余弦值）除以 2。
看那个表达式，除了根号里那局部不一样，其他都一样。 这就有点怪了。
要是角度不变，三边长度不变，面积就不变。但余弦定理里，cos 角变了，面积里的根号局部就变了。
难道说三边变了？自然不会。三边长度不变，余弦值不变。 这就说明，余弦定理求面积这个公式，实际上是一个恒等变换。
只要你知道三边和任意一个角，就能算出面积。 说句大实话，余弦定理求面积，和直接用海伦公式，在本质上是没两样的。
区别在于，海伦公式是“先凑数，后求值”，余弦定理是“先算数据，后变形态”。前者像是在泥地里打滚，后者像是在冰上滑行。 要是你遇到这种题，直接写海伦公式，一般更稳妥。但要是你手里只有余弦定理，那得把那根“余弦”给挖出来，把它放进那个根号公式里。 有时候写公式的时候，我们喜爱追求简洁，认定把根号撇走，直接写成分数，看起来更简洁。但实际上那个根号里的内容，就是面积的核心骨架。少了它，公式就破绽百出。 故此，余弦定理求面积，实际上就是把“底乘以高”这个思路和“余弦定理”这个思路给揉在一起了。 这就够明白了吧。