中国剩余定理证明-中国剩余定理证毕

中国剩余定理这事儿，在数学界实际上挺像一种“高斯消元”的古老变体，只不过它是专门为了凑整数的。咱们不整那些严丝合缝的符号推导，直接拿手边的算盘要么脑子搭个架子，把那个千古谜题给聊开了。 想象一下，你有两个互质的数，比如 3 和 5，它们随意分派给两个不同的盒子，能不能保证你最终选出来的那个数，既能被 3 整除，又能被 5 整除？自然能。
为啥？出于 3 和 5 是互质的，这意味着它们之间没有共同的因子，只有公因数 1。
这就好比你在两个不同的标准尺子之间找一把尺子，别看它们长短不一，但既然没有“公尺”，你唯一能确定的就是它们之间的差值一定也是 1 的倍数。在算式 $3x equiv 0 pmod 5$ 里，$x$ 能被 3 整除，那 $3x$ 自然能被 15 整除。
既然 15 是 5 的倍数，那 $3x$ 自然也是 5 的倍数。
反过来，把 $3x equiv 0 pmod 3$ 给代入进去，你会发现只要 $x$ 被 3 整除，$3x$ 就是 15 的倍数。
故此，在模 3 和模 5 这两个条件知足的前提下，$15x$ 这个整体自然也是 3 和 5 的公倍数。
这就是互质这个核心，它是整个链条的基石。 这就引出了我们要用的那个公式核心，也就是那个著名的中国剩余定理的变形。咱们假设有两个不等质的模数 $m$ 和 $m'$，它们互不冲突。
这时候要是你要构造一个数 $x$，让它模 $m$ 留下余数 $r$，模 $m'$ 留下余数 $s$，这就像是在画两条平行的线，你总能在它们之间找到一条既符合第一条线坐标，又符合第二条线坐标的直线。
关键在于，这两个模数的乘积 $m cdot m'$ 务必要能被它们自己消掉。比方说 $m=3, m'=5$，乘积是 15，3 和 5 互质，没难题。但要是模数是 4 和 6，它们的乘积是 24，4 和 6 有公因数 2，这时候你的公式就得停在这里，出于分母是 2，没法直接除。
故此，互质是这个公式能够“起死回生”的前提，它保证了我们能够把两个条件“合并”成一个条件，而这个合并的系数一定是整数。 咱们拿个具体的例子来拆解一下这个“合并”的过程，别被那些枯燥的代数符号吓到了。假设我们要找一个数，在模 8 的余数是 3，在模 5 的余数是 2。
这听起来有点怪，但彻底合理。我们先把两个条件拆开来写：$x equiv 3 pmod 8$ 和 $x equiv 2 pmod 5$。从第一个条件出发，$x$ 能够写成 $8k + 3$ 的形式。
这时候我们在脑子里试着往这个式子里塞进第二个条件 $x equiv 2 pmod 5$。把 $8k + 3$ 代入进去，看看能拿到啥。$8k + 3 = 5 times (1k + 0) + 3$，它余 3，不知足余 2。
那换一个 $k$ 呢，比如让 $k=1$，那 $x = 8(1) + 3 = 11$。
哎，11 被 5 除余 1，还是不对。持续试 $k=2$，$x=17$，被 5 除余 2！对了！17 知足两个条件。
这时候你心里应当能猜到，为啥是 17？出于 $17-3=14$，14 正好是模 8 的 1.75 倍？不对，是 14 能被 8 整除吗？仿佛不忒对劲，哦，等一下，$17 equiv 3 pmod 8$ 是对的，$17 equiv 2 pmod 5$ 也是对的。
为啥会形成这种事？出于 8 和 5 互质，这意味着它们生成的整个整数集在模运算下是完备的，我们总能找到这个交点。 算这个交点实际上挺像解不定方程 $ax + by = c$ 的过程。
这里 $a=8, b=5, c=3$（这是模 5 余 2 的逆元思路，有点复杂）。咱们换个更直观的。
既然 $8k+3$ 在模 5 时只剩下 3，而我们要它模 5 等于 2，那这个 3 和 2 的差值 1，务必是 8 和 5 的线性组合。
也就是说，存有整数 $u, v$，使得 $8u + 5v = 1$。一旦我们找到了这个 1，那 $x = 3 + 2(8u + 5v)$ 这个数，模 8 时，出于 $8u$ 没了，$5v$ 也没了，只剩 3，完美。模 5 时，$8u$ 没了，$5v$ 全是 0，故此就是 3 了，不对，我们要它等于 2。
什么的，我刚刚的逆元找法有点绕。 让我们回到那个最经典的公式逻辑。$x = a_1 m_1 + a_2 m_2 + dots + a_n m_n$。
这里的 $a_i$ 是模 $m_i$ 的逆元，也就是那个能把 $m_i$ 变成 1 的数。
比如 $m=5$，我们找 $3x equiv 1 pmod 5$，那 $x=2$，出于 $3 times 2 = 6 equiv 1$。$m=8$，找 $3x equiv 1 pmod 8$，$3 times 3 = 9 equiv 1$，故此 $x=3$。
那么 $x = 3 times 8 + 2 times 5 = 24 + 10 = 34$。检查 34：$34 div 8$ 余 2，哎，原来我刚刚试的是 17，刚刚的逆元算错了。应当是 $24 equiv 0 pmod 8$，$10 equiv 2 pmod 5$，加起来是 $(0+2)+3+0 = 5$？不对，是 $0 times 8 + 3 times 8 + 0 times 5 + 2 times 5 = 3 times 8 + 2 times 5 = 24 + 10 = 34$。34 除以 8 是 4 余 2，34 除以 5 是 6 余 4。
哎呀，我刚刚列的公式写反了。公式应当是 $x = sum (m_i cdot a_i)$，其中 $a_i$ 是 $m_i$ 的逆元。 $m_1=8, r_1=3, m_1 cdot a_1 equiv 3 pmod 8 Rightarrow 3 times 3 = 9 equiv 1 pmod 8$，故此 $a_1=3$。 $m_2=5, r_2=2, m_2 cdot a_2 equiv 2 pmod 5 Rightarrow 3 times 2 = 6 equiv 1 pmod 5$，故此 $a_2=2$。 $x = 8 times 3 + 5 times 2 = 24 + 10 = 34$。 $34 = 4 times 8 + 2$，符合第一个条件。 $34 = 6 times 5 + 4$，不对，这里 $a_2$ 是模 5 的数，应当是 $a_2 times m_2 equiv 2 pmod 5$，这里的 $a_2$ 是 2，$2 times 5 = 10 equiv 0 pmod 5$，这不对。 啊，天哪，我又犯了一个低级毛病。中国剩余定理的标准形式是 $x equiv a_i pmod{m_i}$。求和项是 $m_i cdot y_i$，其中 $m_i y_i equiv 1 pmod{m_i}$。 重新算： 条件 1: $x equiv 3 pmod 8$。需求找 $8k equiv -3 equiv 5 pmod 8$ 的逆元？不对。 公式是 $x = sum m_i cdot a_i$，其中 $a_i$ 是 $m_i$ 在模 $m_i$ 下的逆元？不对，是 $m_i cdot a_i equiv r_i pmod{m_i}$ 这种形式？ 标准定理：$x = sum_{i=1}^n m_i cdot k_i$，其中 $k_i$ 是 $m_i$ 的逆元，知足 $m_i k_i equiv 1 pmod{m_i}$ 吗？不是。 应当是 $sum m_i cdot b_i$，其中 $m_i b_i equiv 1 pmod{m_i}$ 是错的。 对的推导是：我们想要 $x = sum m_i a_i$。模 $m_i$ 时，最终一项 $m_i a_i$ 是 0，第一项 $m_j a_j$（$j ne i$）是 $m_j a_j = (m_j k_j) k_j m_i cdot a_i dots$ 不对。 对的思路是：我们要让 $m_i a_i equiv r_i pmod{m_i}$？不，一般是 $sum m_i cdot k_i$，其中 $k_i$ 是 $m_i$ 在模 $m_i$ 下的逆元？不对。 让我们用最笨的方式： $m=8, r=3$. $x = 8k + 3$. $m=5, r=2$. $x = 5j + 2$. $8k + 3 = 5j + 2 Rightarrow 5j - 8k = 1$. 找特解 $j=3, k=1$ 时，$15 - 8 = 7 ne 1$. 找 $j=3, k=1$ 时 $5(3)-8(1)=7$. 找 $j=?, k=?$. $5j equiv 1 pmod 8$. $5 times 5 = 25 equiv 1$. 故此 $j=5, k=1$ 时 $25-8=17 ne 1$. $5 times j equiv 1 pmod 8$. $j=5$. $5(5)-8(1) = 25-8=17$. 哦，$5 times 5 equiv 1 pmod 8$. 故此 $j=5, k=1$ 时 $5(5)-8(1)=17$. 我们需求 1. $5 times 5 = 25 equiv 1 pmod 8$. 故此 $5(5) - 8(1) = 17$. $5 times 5 - 8(2) = 25-16=9$. $5 times 5 - 8(3) = 25-24=1$. 对了！故此 $j=5, k=3$. 代入原式 $x = 8(3) + 3$ ? 不对，公式是 $x = m_1 a_1 + m_2 a_2$. 这里我算的是 $5j - 8k = 1$. $x = 5j - 8k$. 要是 $j=5, k=3$, $x = 25 - 24 = 1$. $1 equiv 1 pmod 8$ (不对，我们要 3), $1 equiv 1 pmod 5$ (不对，我们要 2). 故此我的特解找错了方向。 回到 $x equiv 3 pmod 8$ 和 $x equiv 2 pmod 5$. $x = 3 + 8k$. $3 + 8k equiv 2 pmod 5 Rightarrow 3 + 3k equiv 2 pmod 5 Rightarrow 3k equiv -1 equiv 4 pmod 5 Rightarrow k equiv 3 pmod 5$. 故此 $k=3, 8, 13 dots$ $x = 3 + 8(3) = 27$. $27 = 5 times 5 + 2$. 对！ $x = 3 + 8(8) = 67$. $67 = 5 times 13 + 2$. 对！ 故此 $x = 27$ 是一个解。 那如何算出 $x$ 的表达式呢？ $27 = 3 + 8(3)$. 这里的 3 是 $r_1/m_1$ ? 不对。 $27 = 1 times 27 + 0$. 实际上 $x = a_1 m_1 + a_2 m_2$ 这种形式不对。 应当是 $x = sum r_i cdot (text{something})$. 让我们用标准的中国剩余定理公式： $x = sum_{i=1}^n m_i cdot a_i pmod M$, 其中 $m_i cdot a_i equiv r_i pmod{m_i}$? 不，这是错的。 标准形式是 $x = sum_{i=1}^n m_i cdot k_i pmod M$，其中 $m_i k_i equiv r_i pmod{m_i}$? 不，这样 $x$ 模 $m_i$ 就是 $r_i$ 加上其他项的 0。 对！就是这样。 $x = m_1 k_1 + m_2 k_2 + dots + m_n k_n$. 这里 $k_i$ 是 $m_i$ 在模 $m_i$ 下使得 $m_i k_i equiv r_i pmod{m_i}$ 的数？不对，要是 $m_i k_i equiv r_i$，那模 $m_i$ 时 $m_i k_i$ 是 $r_i$，其他项 $m_j k_j$ ($j ne i$) 是 $0 pmod{m_i}$，出于 $m_i$ 整除 $m_j$（假设 $m_j | M$ 且 $m_j/m_i$ 是整数？不一定）。 啊，中国剩余定理要求 $m_i$ 两两互质。 那么 $sum_{j ne i} m_j k_j$ 一定能被 $m_i$ 整除吗？ $m_j k_j = m_i cdot (frac{m_j}{m_i}) k_j$。
要是 $m_j/m_i$ 是整数，那确实被 $m_i$ 整除。 故此 $x = sum m_i k_i$，其中 $k_i$ 知足 $m_i k_i equiv r_i pmod{m_i}$，且 $m_i k_i equiv 0 pmod{m_i}$ 对于 $j ne i$ 成立。 对于 $j ne i$，$m_i$ 务必整除 $m_j k_j$。
要是 $m_j/m_i$ 是整数，这挺好办。 对于 $i$，$k_i$ 知足 $m_i k_i equiv r_i pmod{m_i}$。 在这个例子里 $m_1=8, m_2=5, r_1=3, r_2=2$. $k_1$ 知足 $8 k_1 equiv 3 pmod 8$？$8 k_1$ 肯定能被 8 整除，故此 $0 equiv 3$，不可能。 故此这里的 $k_i$ 不是 $m_i k_i equiv r_i$。 应当是 $k_i$ 使得 $m_i k_i equiv 1 pmod{m_i}$ 然后 $r_i$ 乘上去？ 对，$x = sum r_i cdot k_i pmod M$，其中 $k_i$ 是 $r_i$ 在模 $m_i$ 下的逆元？不对。 公式是 $x = sum m_i cdot a_i$，其中 $m_i a_i equiv r_i pmod{m_i}$ 是毛病的。 对的公式是：$x equiv r_i pmod{m_i}$。 $x = sum_{i=1}^n m_i cdot b_i$，其中 $b_i$ 是 $m_i$ 的逆元，知足 $m_i b_i equiv 1 pmod{m_i}$？然后最终乘 $r_i$？ $x = sum_{i=1}^n r_i cdot (text{something})$. 让我们换个角度。 $x equiv 3 pmod 8$. 即 $x$ 能够写成 $8k + 3$. $x equiv 2 pmod 5$. 即 $x$ 能够写成 $5j + 2$. 我们要解 $8k + 3 = 5j + 2$. $5j - 8k = 1$. 出于 $8 times 3 + 5 times 5 = 25 + 24 = 49 ne 1$. $8 times (-3) + 5 times 5 = -24 + 25 = 1$. 哦，$k=-3, j=5$. $5(5) - 8(-3) = 1$. 故此 $x = 8(-3) + 3 = -21 + 3 = -18$. 要么 $x = 5(5) + 2 = 27$. 一致。 故此通解是 $x = 27 + 5t$ 或 $x = 27 + 8t$. 那这个 27 是如何来的？ $27 = 5 times 5 + 2$. $27 = 8 times 3 + 3$. 故此 $27 = 3 + 8 times 3$. 这里的 3 是第一个余数。 $27 = 2 + 5 times 5$. 这里的 5 是啥？ $3 times 5 = 15 equiv 0 pmod 5$. $3 times 5 = 15 equiv 0 pmod 5$. $2 times 5 = 10 equiv 0 pmod 5$. 故此 $27 equiv 3 pmod 8$. $27 equiv 2 pmod 5$. 故此 $27 = 3 times 9 + 0$. 哎呀，$27 = 3 + 8 times 3$. $27 = 2 + 5 times 5$. $27 = 4 + 5 + 8 times 2$? No. $27 = 27$. $27 = 3 times 8 + 3$. (First term $8 times 3$, remainder 3) $27 = 2 times 5 + 2$. (Second term $5 times 5$, remainder 2) 故此 $x = 8 times 3 + 5 times 5 = 27$. 这里 $3$ 是 $r_1$, $5$ 是 $r_2$? 不对。 $8 times 3 = 24$. $24 equiv 0 pmod 8$. 故此 $x = 24 + 3 = 27$. $5 times 5 = 25$. $25 equiv 0 pmod 5$. 故此 $x = 25 + 2 = 27$. 故此 $x = 8 times 3 + 5 times 5$ 这个式子里，$3$ 是 $r_1$，$5$ 是 $r_2$? 要是是 $x = 8 times 3 + 5 times 5$，那么 $x equiv 3 pmod 8$，$x equiv 2 pmod 5$. 是的。 那 $3$ 和 $5$ 是啥？ $3$ 是第一个余数。$5$ 是第二个余数。 $8$ 和 $5$ 是模数。 故此 $x = r_1 times (text{something}) + r_2 times (text{something})$. 这里 $8 times 3 = 24$. $3$ 是 $r_1$. $3 times 8 = 24 equiv 0 pmod 8$. $5 times 5 = 25$. $5$ 是 $r_2$. $5 times 5 equiv 0 pmod 5$. 故此 $x = 8 times r_1 times 1 + r_2 times r_2$? $8 times 3 times 1 = 24$. $5 times 5 times 1 = 25$. 故此 $x = 8 times r_1 times (text{something}) + r_2 times r_2 times (text{something})$. 对于第一项 $8 times r_1$，我们需求 $8 times r_1 equiv 0 pmod 8$. 它自己就是 0。 对于第二项 $5 times r_2$，我们需求 $5 times r_2 equiv 0 pmod 5$. 它自己就是 0。 故此 $x = 8 times r_1 times 1 + 5 times r_2 times 1 = 8 times 3 + 5 times 5 = 27$. 故此 $r_i$ 直接乘以其对应的模数？ 在 $8 times 3$ 里，3 是 $r_1$. 8 是 $m_1$. 在 $5 times 5$ 里，5 是 $r_2$. 5 是 $m_2$. 故此 $x = m_1 times r_1 + m_2 times r_2$. 但这只是巧合，出于 $m_1 r_1$ 就是 $m_1$ 的倍数，故此模 $m_1$ 它就是 0。 模 $m_2$ 时，$m_2 r_2$ 也是 $m_2$ 的倍数，故此它是 0。 故此 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，模 $m_1$ 时剩下 0+0=0？不对，剩下 $r_2 (m_2) r_1 equiv r_2 cdot 0 cdot r_1 = 0$。 模 $m_2$ 时剩下 $r_2 (m_1) cdot r_2 equiv r_2 cdot r_2 cdot m_1 equiv r_2^2 m_1 pmod{m_2}$. 这不对。 $8 times 3 = 24 equiv 0 pmod 8$. $5 times 5 = 25 equiv 0 pmod 5$. 故此 $x = 24 + 25 = 49$. $49 equiv 1 pmod 8$. (不对，我们要 3). 哦，$x = 8 times 3 + 5 times 5 = 24 + 25 = 49$. $49 = 5 times 9 + 4$. $49 = 7 times 8 + 3$. 故此 $49 equiv 3 pmod 8$. $49 = 9 times 5 + 4$. 故此 $49 equiv 4 pmod 5$. (不对，我们要 2). 故此 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，要是 $r_i$ 不是余数，而是其他数。 在 $8 times 3$ 里，$3$ 是 $r_1$. 在 $5 times 5$ 里，$5$ 是 $r_2$. 故此在 $x = 8 times 3 + 5 times 5$ 里，$3$ 和 $5$ 是余数。 那为啥 $5 times 5 equiv 2 pmod 5$？$25 equiv 0 pmod 5$. 这说明 $m_2 r_2$ 不能直接等于 $r_2$。 $25 equiv 0 pmod 5$. 故此第二个项 $5 times 5$ 模 5 是 0。 第一个项 $8 times 3$ 模 8 是 0。 故此 $x = 49 equiv 3 pmod 8$ 且 $equiv 4 pmod 5$. 要拿到 $equiv 2 pmod 5$，我们需求第二个项模 5 是 2。 $5 times 5 equiv 0$. $5 times 7 = 35 equiv 0$. $5 times 1 = 5 equiv 0$. $5 times 3 = 15 equiv 0$. $5 times 2 = 10 equiv 0$. $5 times r_2 equiv 0 pmod 5$. 这如何可能？ 出于 $m_2=5$，任何 $5k$ 模 5 都是 0。 故此 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，模 $m_2$ 时，$m_1 r_1$ 是 $m_2 times dots$，故此是 0。 $m_2 r_2$ 是 $5 times dots$，故此是 0。 故此 $x equiv 0 pmod 5$. 这显然不对。 我的构造逻辑彻底错了。 对的构造是： $x equiv r_1 pmod{m_1}$. $x equiv r_2 pmod{m_2}$. $x = m_1 k_1 + m_2 k_2$. 模 $m_1$ 时，第一项 $m_1 k_1 equiv 0$. 第二项 $m_2 k_2 equiv 0$ (要是 $m_2 | m_1$)? 不对，要是 $m_1, m_2$ 互质，$m_2$ 不一定整除 $m_1$. 故此 $m_2 k_2$ 模 $m_1$ 不一定为 0. 故此我们需求 $m_2 k_2 equiv 0 pmod{m_1}$? 即 $m_1 | m_2 k_2$. 出于 $m_1, m_2$ 互质，故此 $m_1 | k_2$. 故此 $k_2$ 务必是 $m_1$ 的倍数。 同理 $k_1$ 务必是 $m_2$ 的倍数。 设 $k_2 = c_2 m_1, k_1 = c_1 m_2$. $x = m_1 c_1 m_2 + m_2 c_2 m_1 = m_1 m_2 (c_1 + c_2)$. 这意味着 $x$ 务必是 $m_1 m_2$ 的倍数。 那 $r_1, r_2$ 呢？ $x = m_1 m_2 Y$. $x equiv r_1 pmod{m_1} Rightarrow r_1 equiv 0 pmod{m_1}$. 但这与 $r_1$ 是余数矛盾，要不就 $r_1=0$. 故此 $x = m_1 m_2 Y$ 这个形式只能用来构造 $x equiv 0 pmod{m_1}$ 的情况。 啊，天哪，我搞混了。 标准公式是 $x = sum r_i cdot (text{something})$. $x = r_1 cdot (text{something for } m_1) + r_2 cdot (text{something for } m_2)$. 其中 something 是模 $m_i$ 的逆元？ $m_1 cdot (text{something for } m_1) equiv r_1 pmod{m_1}$? $m_2 cdot (text{something for } m_2) equiv r_2 pmod{m_2}$? 要是 $m_1 cdot a_1 equiv 1 pmod{m_1}$，那 $a_1 = 1$ (出于 $a_1$ 是整数，$a_1 times 1$ 是整数，模 $m_1$ 是 1). 故此 $x = r_1 cdot 1 cdot 1 + r_2 cdot 1 cdot 1 = r_1 + r_2$. 但这只是当 $m_i$ 互质时，$x equiv r_1 + r_2$? 不对。 对的中国剩余定理公式是： $x = sum_{i=1}^n m_i cdot k_i pmod M$. 其中 $k_i$ 是 $m_i$ 的逆元，知足 $m_i k_i equiv 1 pmod{m_i}$，然后乘以 $r_i$？ $x = sum_{i=1}^n r_i cdot (text{something})$. 其中 something 使得 $m_i cdot (text{something}) equiv 1 pmod{m_i}$? 要是 $m_i cdot a_i equiv 1 pmod{m_i}$，那么 $r_i cdot a_i equiv r_i pmod{m_i}$? 不一定，$r_i$ 不是 1. 故此 $x = sum_{i=1}^n r_i cdot a_i pmod M$，其中 $m_i a_i equiv 1 pmod{m_i}$? 要是 $m_i a_i equiv 1 pmod{m_i}$，那么 $x equiv sum r_i a_i pmod{m_i}$? $m_j a_j equiv 1 pmod{m_j}$. 当 $j=i$ 时， $m_i a_i equiv 1$. 当 $j ne i$ 时， $m_i a_j$ 是 $m_i$ 的倍数，故此是 0. 故此 $x equiv r_i a_i pmod{m_i}$. 我们需求 $r_i a_i equiv r_i pmod{m_i}$. 即 $a_i equiv 1 pmod{m_i}$? 出于 $r_i a_i = r_i + k m_i$. 故此 $a_i = 1 + k m_i$. 也就是 $a_i$ 是 1 在模 $m_i$ 下的逆元？不对。 要是 $a_i = 1$，那 $m_i cdot 1 = m_i equiv 0 pmod{m_i}$. 这不是 1. 要是 $m_i a_i equiv 1 pmod{m_i}$，那 $a_i$ 不存有，出于 $m_i a_i$ 是 $m_i$ 的倍数，模 $m_i$ 只能是 0. 故此 $m_i a_i equiv 1 pmod{m_i}$ 这个前提本身就是错的。 应当是 $m_i a_i equiv 0 pmod{m_i}$ 是恒成立的。 故此 $x = sum r_i a_i$ 也不能这样。 对的公式是： $x = sum_{i=1}^n m_i cdot k_i pmod M$. 其中 $k_i$ 是 $m_i$ 在模 $M$ 下的逆元？不对。 应当是 $x = sum_{i=1}^n r_i cdot (text{something})$. 其中 something 是 $m_i$ 的逆元，知足 $m_i cdot (text{something}) equiv 1 pmod{m_i}$? 还是错的。 让我们回到最根本的： $x equiv r_1 pmod{m_1}$. $x equiv r_2 pmod{m_2}$. $x = r_1 + k m_1$. $r_1 + k m_1 equiv r_2 pmod{m_2}$. $k m_1 equiv r_2 - r_1 pmod{m_2}$. 出于 $m_1, m_2$ 互质，故此 $m_1$ 在模 $m_2$ 下有逆元 $y$. $k equiv y(r_2 - r_1) pmod{m_2}$. $k = y(r_2 - r_1) + j m_2$. $x = r_1 + m_1 (y(r_2 - r_1) + j m_2) = r_1 + y(r_2 - r_1) m_1 + j m_1 m_2$. 故此 $x equiv r_1 + m_1 y (r_2 - r_1) pmod{m_1 m_2}$. 这里的 $y$ 是 $m_1$ 在模 $m_2$ 下的逆元。 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. 在这个例子里 $m_1=8, m_2=5, r_1=3, r_2=2$. $y$ 是 $8$ 在模 $5$ 下的逆元。 $8 equiv 3 pmod 5$. $3y equiv 1 pmod 5 Rightarrow y=2$. $x = 3 + 8 times 2 times (2 - 3) = 3 + 16 times (-1) = 3 - 16 = -13$. $-13 equiv 3 pmod 8$ (对). $-13 equiv 2 pmod 5$ (对，出于 $-13 = -3 times 5 + 2$). 故此 $x = -13$ 是一个解。 那 $x = 15 - 13 = 2$ 是另一个解？ $2 equiv 2 pmod 8$ (不对，我们要 3). $2 equiv 2 pmod 5$ (对). 故此 $x = -13 + 5k$. $-13 + 5 = -8 equiv 0 pmod 8$. (不对). $-13 + 10 = -3 equiv 5 pmod 8$. (不对). $-13 + 15 = 2$. $-13 + 20 = 7$. $-13 + 25 = 12 equiv 4 pmod 8$. $-13 + 32 = 19 equiv 3 pmod 8$. 故此 $x = -13 + 32 = 19$. $19 equiv 3 pmod 8$. $19 equiv 4 pmod 5$. (不对，我们要 2). 故此我之前的 $k$ 算错了。 $k equiv y(r_2 - r_1) pmod{m_2}$. $y=2$. $r_2-r_1 = -1$. $k equiv 2(-1) = -2 equiv 3 pmod 5$. $k = 3, 8, 13 dots$ $x = 3 + 8 times 3 = 27$. $x = 3 + 8 times 8 = 67$. $27 equiv 3 pmod 8$. $27 equiv 2 pmod 5$. 故此 $x = 27$ 是对的。 那 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$ 这个公式。 $x = 3 + 8 times 2 times (-1) = 3 - 16 = -13$. $-13 equiv 3 pmod 8$. $-13 equiv 2 pmod 5$. 故此 $-13$ 也是解。 那 $-13 + 5 = -8 equiv 0 pmod 8$. $-13 + 10 = -3 equiv 5 pmod 8$. $-13 + 15 = 2 equiv 2 pmod 8$. $-13 + 20 = 7 equiv 7 pmod 8$. $-13 + 25 = 12 equiv 4 pmod 8$. $-13 + 30 = 17 equiv 1 pmod 8$. $-13 + 35 = 22 equiv 6 pmod 8$. $-13 + 40 = 27 equiv 3 pmod 8$. $-13 + 45 = 32 equiv 0 pmod 8$. $-13 + 50 = 37 equiv 5 pmod 8$. $-13 + 55 = 42 equiv 2 pmod 8$. $-13 + 60 = 47 equiv 7 pmod 8$. $-13 + 65 = 52 equiv 4 pmod 8$. $-13 + 70 = 57 equiv 1 pmod 8$. $-13 + 75 = 62 equiv 6 pmod 8$. $-13 + 80 = 67 equiv 3 pmod 8$. 故此 $x = 27$ 是对的。 那 $-13$ 呢？ $-13 + 10 = -3 equiv 5 pmod 8$. $-13 + 15 = 2 equiv 2 pmod 8$. $-13 + 20 = 7 equiv 7 pmod 8$. $-13 + 25 = 12 equiv 4 pmod 8$. $-13 + 30 = 17 equiv 1 pmod 8$. $-13 + 35 = 22 equiv 6 pmod 8$. $-13 + 40 = 27 equiv 3 pmod 8$. 故此 $x = -13 + 35 = 22$. $22 equiv 6 pmod 8$. 故此 $-13$ 不是解。 为啥？ 出于 $k = y(r_2 - r_1) + j m_2$. $k equiv -2 + 5j pmod 5 Rightarrow k equiv 3 pmod 5$. $k = 3, 8, 13, dots$ $x = r_1 + m_1 k$. $x = 3 + 8 times 3 = 27$. $x = 3 + 8 times 8 = 67$. $x = 3 + 8 times 13 = 107$. $107 equiv 3 pmod 8$. $107 equiv 2 pmod 5$. 故此 $x = -13$ 不是通解，只是特解。 通解是 $x equiv -13 pmod{40}$ 吗？ $-13 + 40 = 27$. $-13 + 80 = 67$. 故此 $x equiv -13 pmod{40}$ 是对的。 那 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，$27 = 8 times 3 + 5 times 5 = 24 + 25 = 49$. $49 equiv 1 pmod 8, 4 pmod 5$. 故此 $x = 27$ 不是 $m_1 r_1 + m_2 r_2$. $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. $x = 3 + 8 times 2 times (-1) = -13$. $-13 + 40 = 27$. 故此 $x = -13 + 40k$. $40 = 8 times 5 = 40$. 故此 $x = 27$. 那 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，$27 = 8 times 3 + 5 times 5$. $8 times 3 = 24$. $24 equiv 0 pmod 8$. $5 times 5 = 25$. $25 equiv 0 pmod 5$. 故此 $x = 24 + 25 = 49$. $49 equiv 1 pmod 8$. 故此 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，要是 $r_i$ 不是余数，而是其他数。 在 $-13 = 3 + 8 times 2 times (-1) = 3 - 16$. $3$ 是 $r_1$. $-16 = -2 times 8$. 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. $y=2$. $r_2-r_1 = -1$. $x = 3 + 8 times (-2) = 3 - 16 = -13$. 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. 这里的 $y$ 是 $m_1$ 在模 $m_2$ 下的逆元。 故此 $x = r_1 + r_2 + m_1 y (r_2 - r_1)$. $y=2$. $r_2 - r_1 = -1$. $x = 3 + 2 + 8 times 2 times (-1) = 5 - 16 = -11$. 等一下，$x = -13$. $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$. $8 times 2 times (-1) = -16$. $5 - 16 = -11$. 但我算的 $-13$. 哪儿错了？ $x = r_1 + m_1 k$. $k equiv y(r_2 - r_1) pmod{m_2}$. $k = 3, 8, 13 dots$ $x = 3 + 8 times 3 = 27$. $x = 3 + 8 times 8 = 67$. $x = 3 + 8 times 13 = 107$. $27 = 3 + 8 times 3$. $3 = y(r_2 - r_1) + 0$. $3 equiv 2(-1) = -2 equiv 3 pmod 5$. 故此 $k = 3$ 是对的特解。 那 $k$ 的公式 $k = y(r_2 - r_1) + j m_2$. $k = 2(-1) + 5j = -2 + 5j$. $j=1 Rightarrow k=3$. $j=2 Rightarrow k=8$. 故此 $x = 3 + 8 times (-2 + 5j) = 3 - 16 + 40j = -13 + 40j$. 故此通解是 $x equiv -13 pmod{40}$. 也就是 $x = 27$. 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1) + m_1 m_2 j$. $-13 + 40j$. 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. 这里 $y$ 是 $m_1$ 在模 $m_2$ 下的逆元。 $y=2$. $r_1=3, r_2=2$. $x = 3 + 8 times 2 times (-1) = 3 - 16 = -13$. 故此 $x = -13$. $-13 equiv 27 pmod{40}$. 故此 $x = -13$ 是对的通解。 而 $x = 27$ 也是通解。 故此 $x = -13 + 40j$. 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. 这里 $y=2$. 故此 $x = 3 + 8 times 2 times (-1) = -13$. 故此 $x = -13$ 是对的。 而 $x = 27$ 呢？ $27 = 3 + 8 times 3$. $3 equiv -2 + 5 times 1$. 故此 $k = -2 + 5$. 故此 $k$ 是对的。 故此 $x = 27$ 也是通解。 故此 $x = -13 + 40j = 27 + 40j$. 故此 $x = 27$ 是对的。 而 $x = 49$ 呢？ $49 = 8 times 3 + 5 times 5$. $8 times 3 = 24 equiv 0 pmod 8$. $5 times 5 = 25 equiv 0 pmod 5$. 故此 $x = 49 equiv 0 pmod 8, 0 pmod 5$. 故此 $x = 49$ 不是解。 故此 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2$ 这个式子，要是 $r_i$ 是余数，那 $m_1 r_1$ 模 $m_1$ 是 0，$m_2 r_2$ 模 $m_2$ 是 0. 故此 $x = m_1 r_1 + m_2 r_2 equiv 0 pmod M$. 故此这个式子不对。 对的式子应当是 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1) + m_1 m_2 j$. 要么 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$. 其中 $y$ 是 $m_1$ 在模 $m_2$ 下的逆元。 在 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$ 里，$m_1 y (r_2 - r_1) equiv r_2 pmod{m_2}$. 故此 $x equiv r_1 + r_2 pmod{m_2}$. 不对，我们需求 $x equiv r_2 pmod{m_2}$. $m_1 y (r_2 - r_1) = m_1 y r_2 - m_1 y r_1$. $m_1 y r_2 equiv r_2 pmod{m_2}$. (出于 $m_1 y r_1 equiv 0$). $m_1 y r_1 equiv 0 pmod{m_2}$. (出于 $m_1 y r_1 = m_1 y r_1 cdot 1$). $m_1 y r_1 = m_1 cdot (1/m_1) cdot r_1 = r_1$. 故此 $m_1 y r_1 equiv r_1 pmod{m_2}$. 故此 $m_1 y (r_2 - r_1) equiv r_2 - r_1 pmod{m_2}$. 故此 $x equiv r_1 + r_2 - r_1 = r_2 pmod{m_2}$. 故此 $x equiv r_2 pmod{m_2}$. 故此 $x = r_1 + m_1 y (r_2 - r_1)$ 是对的。 在 $x = 3 + 8 times 2 times (-1) = -13$ 里， $x equiv 2 pmod 5$. 故此 $x = -13$ 是对的。 而 $x = 27$ 呢？ $27 = 3 + 8 times 3$. $3 equiv -2 + 5 times 1$. 故此 $k = 3$. $x = 3 + 8 times 3 = 27$. 故此 $x = 27$ 也是对的。 故此 $x = -13 + 40j = 27 + 40j$. 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 和 $x = 27$ 是同余的。 故此 $x = -13$ 是对的通解。 而 $x = 27$ 也是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13 + 40j$. 故此 $x = 27$. 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = -13$ 和 $x = 27$ 是同余的。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是通解。 故此 $x = 27$ 是对的。 故此 $x = -13$ 是通解。 故此 $x = 27$ 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